初等函数详解

初等函数详解

初等函数

定义 3.7 初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算所得的函数。

基本初等函数就是在中学数学课程中的下列 6 族函数：

（1）常值函数族 $f(x) \equiv C$，

（2）幂函数族 $f(x) = x^{\mu} (\mu \neq 0)$，

（3）指数函数族 $f(x) = a^x (0 < a \neq 1)$，

（4）对数函数族 $f(x) = \log_a x (0 < a \neq 1)$，

（5）三角函数族 $f(x) = \sin x, \cos x, \tan x, \cot x, \sec x, \csc x$，

（6）反三角函数族 $f(x) = \arcsin x, \arccos x, \arctan x, \arccot x, \arcsec x, \arccsc x$。（其中常用的是前 4 个。）

在这 6 族中，（3），（4）族互成反函数，（5），（6）族互成反函数。

注 由定义 3.7 可见，初等函数首先包含了我们经常使用的多项式函数与有理分式函数。回顾 $\S 3.2.4$，其中例题 3.5 的 $y=|x|$ 也是初等函数，因为有 $|x| = \sqrt{x^2}$。但是该小节中其他几个例题中的函数都不是初等函数（用定理 5.4 的逆否命题可以推知）。

下面简述 6 类基本初等函数的定义域等性质。

（1）常值函数族：$f(x) \equiv C$，其定义域可以是任何数集。

（2）幂函数族：$f(x) = x^{\mu} (\mu \neq 0)$（参看图 3.11）。

幂函数的定义域问题比较复杂，随着指数 $\mu$ 的不同而分为多种情况。当 $\mu$ 为非零整数时，它是我们最熟悉的函数。对于 $n \in \mathbb{N}$，幂函数 $y = x^n$ 在所有实数上有定义，而 $y = x^{-n}$ 则在 $x \neq 0$ 时有定义。

现设 $\mu$ 为既约分数 $p/q$，其中 $q$ 为正整数。这时先看 $p$ 也是正整数的情况，即指数 $\mu$ 为正有理数。当 $q$ 为奇数时幂函数于所有实数上有定义，而当 $q$ 为偶数时则于 $[0, +\infty)$ 上有定义。

对于 $\mu$ 为负有理数的情况，则除了在 $x = 0$ 处无定义之外，它的定义域与正有理数指数情况是相同的。

当指数 $\mu$ 为无理数时，$x^{\mu}$ 的定义需要有实数理论的支持。当 $\mu > 0$ 时幂函数的定义域为 $x \geq 0$，而当 $\mu < 0$ 时幂函数的定义域为 $x > 0$。

在图 3.11 中是 $x > 0$ 范围中的幂函数的图像，其中粗黑线为 $\mu > 0$ 的图像，细黑线为 $\mu < 0$ 的图像，水平直线为 $y \equiv 1$。所有图像都通过点 $(1, 1)$，同时 $\mu > 0$ 的图像都通过原点 $(0, 0)$。

容易看出，若将幂函数的定义域限制在 $x \geq 0$（对于 $\mu > 0$）或 $x > 0$（对于 $\mu < 0$），则 $y = x^{\mu}$ 的反函数为 $y = x^{1/\mu}$，仍然是幂函数。

（3）指数函数族 $y = a^x (0 < a \neq 1)$ 与（4）对数函数族 $y = \log_a x (0 < a \neq 1)$，互成反函数。在 $a = e$ 时也将函数 $e^x$ 记为 $\exp x$，它与 $\ln x$ 互成反函数。

指数函数 $y = a^x \quad (0 < a \neq 1)$ 对所有实数有定义，其值域为 $(0, +\infty)$，当 $a > 1$ 时为严格单调增加函数，而当 $0 < a < 1$ 时为严格单调减少函数。在图 3.12 中作出了它们的图像。

指数函数的反函数，即对数函数 $y = \log_a x (0 < a \neq 1)$，其定义域为 $(0, +\infty)$，值域为 $(-\infty, +\infty)$，当 $a > 1$ 时为严格单调增加函数，而当 $0 < a < 1$ 时为严格单调减少函数。在图 3.13 中作出了它们的图像。

（5）三角函数族与（6）反三角函数族。

三角函数中正弦函数 $\sin x$ 和余弦函数 $\cos x$ 都是在所有实数上有定义的周期为 $2\pi$ 的周期函数。$\sin x$ 在 $\pi$ 的整数倍处为 $0, \cos x$ 在 $\pi/2$ 加上 $\pi$ 的整数倍处为 0。

由此就可以确定其余 4 个三角函数的定义域。只是要指出，

正切函数 $\tan x$ 与余切函数 $\cot x$ 的最小周期是 $\pi$，而不是 $2\pi$。

前面已对反三角函数中的前 4 个，即 $\arcsin x, \arccos x, \arctan x$ 和 $\arccot x$ 作过讨论，它们的图像为图 3.2，3.3，3.4 和 3.5。