积分上限函数(变限积分)

积分上限函数(变限积分)

积分学是数学中的一个重要分支，主要研究积分的概念、性质和应用。在积分学中，有两个基本问题：一是原函数的求法问题，二是定积分的计算问题。本文将重点介绍积分上限函数（变限积分）的概念及其在微积分中的重要性，揭示不定积分与定积分之间的深刻联系。

积分上限函数

积分学中要解决两个问题：第一个问题是原函数的求法问题，前文已经对它做了讨论；第二个问题就是定积分的计算问题。如果按定积分的定义来计算定积分，那将是十分困难的。因此寻求一种计算定积分的有效方法便成为积分学发展的关键。

我们知道，不定积分作为原函数的概念与定积分作为积分和的极限的概念是完全不相干的两个概念。但是，牛顿和莱布尼茨不仅发现而且找到了这两个概念之间存在的深刻的内在联系，即所谓的“微积分基本定理”，并由此巧妙地开辟了求定积分的新途径——牛顿-莱布尼茨公式，从而使积分学与微分学一起构成变量数学的基础学科——微积分学。牛顿和莱布尼茨也因此作为微积分学的奠基人而载入史册。

引入

设物体做直线运动，已知速度 $v=v(t)$，是时间间隔 $[0,T]$ 上 $t$ 的连续函数，且 $v(t) \ge 0$。对于等速直线运动，有公式：路程 = 速度 × 时间。现在速度是随着时间变化的变量，因此不能直接按等速直线运动的路径公式来计算。

将时间 $[0,T]$ 任意地分成 $n$ 小段 $[t_{i-1}, t_i]$（其中 $i=1,2,\cdots,n,t_0=0,t_n=T$），任取 $\tau_i \in [t_{i-1}, t_i] (i=1,2,\cdots,n)$，则路程元 $\Delta S_i \approx v(\tau_i) \Delta t_i (i=1,2,\cdots,n), \lambda = \max_{1 \le i \le n} {\Delta t_i}$，因此得到变速 $(v=v(t), t \in [0,T])$ 直线运动的路程

$$
S = \sum_{i=1}^{n} \Delta S_i = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} v(\tau_i) \Delta t_i = \int_{0}^{T} v(t) , dt
$$

另一方面，这段路程又可通过位置函数 $S(t)$ 在时间 $[0,T]$ 上的增量来表示：$S(T) - S(0)$，因此有

$$
\int_{0}^{T} v(t) , dt = S(T) - S(0)
$$

且 $S'(t) = v(t)$，从而有

$$
\int_{0}^{T} v(t) , dt = \int_{0}^{T} S'(t) , dt = S(t) \Big|{0}^{T} = \left( \int v(t) , dt \right) \Big|{0}^{T}
$$

此公式揭示了速度函数的定积分和不定积分的关系。这是一种偶然的巧合，还是一种具有一般意义的计算公式呢？答案是后者。下面就来推导一般的结果，通过求原函数的方法来计算定积分，该结果称为微积分基本定理。

设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 内连续，$x$ 为 $[a,b]$ 上的任意一点（见图 3-12），则积分 $\int_{a}^{x} f(t) , dx$ 存在。这里上限 $x$ 是 $[a,b]$ 上的任意取定的一点，当 $x$ 在 $[a,b]$ 上变化时，$\int_{a}^{x} f(t) , dx$ 的值也随之变化。由于积分值与积分变量用什么字母表示无关，故原来的 $\int_{a}^{x} f(t) , dx$ 用 $\int_{a}^{x} f(t) , dt$ 表示更妥，故 $\int_{a}^{x} f(t) , dt$ 为 $[a,b]$ 上变量 $x$ 的函数，称为 $f(x)$ 的积分上限的函数。记为 $\Phi(x) = \int_{a}^{x} f(t) , dt, (a \le x \le b)$。同理 $\int_{x}^{b} f(t) , dt$ 也是 $x$ 的函数 $(a \le x \le b)$，称为 $f(x)$ 的积分下限的函数。

由定积分的几何意义，我们可以看到 $\int_{a}^{b} f(x) , dx$ 表示整块曲边梯形的面积，而 $\Phi(x) = \int_{a}^{x} f(t) , dt$ 表示区间 $[a,x]$ 上对应的曲边梯形的面积。对于 $\Phi(x)$，有下列性质：

定理1

若函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $\Phi(x) = \int_{a}^{x} f(t) , dt$ 在 $[a,b]$ 上可导，且

$$
\Phi'(x) = \frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) , dt = f(x)
$$

证明 考虑 $\Delta \Phi(x)$ 并利用积分中值定理（见图 3-13），有

$$
\Delta \Phi(x) = \Phi(x + \Delta x) - \Phi(x) = \int_{a}^{x+\Delta x} f(t) , dt - \int_{a}^{x} f(t) , dt = \int_{x}^{x+\Delta x} f(t) , dt = f(\xi) \Delta x
$$

其中 $\xi$ 介于 $x, x + \Delta x$ 之间，当 $\Delta x \to 0$ 时，$\xi \to x$，因此

$$
\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta \Phi(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} f(\xi) = f(x)
$$

即

$$
\Phi'(x) = \frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) , dt = f(x)
$$

注 从定理的结论可以看出 $\Phi(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，因此有以下定理。

定理2 若函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $\Phi(x) = \int_{a}^{x} f(t) , dt$ 是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的一个原函数，即

$$
\Phi'(x) = f(x), x \in [a,b]
$$

定理2 的意义在于：

(1) 连续函数的原函数是存在的，这样就解决了不定积分中连续函数的原函数的存在的证明；

(2) 指出了获得连续函数的原函数的具体方法。

推论 若函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$\Phi(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) , dt, a \le a(x) < b(x) \le b$，$a(x), b(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，则

$$
\Phi'(x) = \frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) , dt = b'(x) f(b(x)) - a'(x) f(a(x))
$$

证明 $\Phi(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) , dt = \int_{c}^{b(x)} f(t) , dt + \int_{a(x)}^{c} f(t) , dt = \int_{c}^{b(x)} f(t) , dt - \int_{c}^{a(x)} f(t) , dt$，其中 $c \in [a,b]$，考虑 $F(x) = \int_{c}^{b(x)} f(t) , dt = \left. \int_{c}^{u} f(t) , dt \right|_{u=b(x)}$，则

$$
F'(x) = \left. f'(u) \right|_{u=b(x)} \cdot b'(x) = f(b(x)) b'(x)
$$

因此，

$$
\Phi'(x) = \frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) , dt = b'(x) f(b(x)) - a'(x) f(a(x))
$$

特别地，若 $a(x) \equiv a \in \mathbb{R}$，则

$$
\Phi'(x) = \frac{d}{dx} \int_{a}^{b(x)} f(t) , dt = b'(x) f(b(x))
$$

若 $b(x) \equiv b \in \mathbb{R}$，则

$$
\Phi'(x) = \frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b} f(t) , dt = -a'(x) f(a(x))
$$

牛顿-莱布尼茨公式

若函数 $F(x)$ 是连续函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的一个原函数，则

$$
\int_{a}^{b} f(x) , dx = F(b) - F(a) = F(x) \Big|_{a}^{b}
$$

证明：已知 $\Phi(x) = \int_{a}^{x} f(t) , dt$ 是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的一个原函数，参考上面变限积分的介绍，故 $F(x) - \Phi(x) = C$，即 $F(x) - \int_{a}^{x} f(t) , dt = C$，令 $x=a$，则 $F(a) = C$，即

$$
\int_{a}^{x} f(t) , dt = F(x) - F(a)
$$

因此，令 $x=b$，则有

$$
\int_{a}^{b} f(t) , dt = F(b) - F(a)
$$

这个公式揭示了不定积分与定积分之间的关系。由于我们已经熟悉了不定积分的计算方法，因此，利用该公式计算定积分将会大大降低计算定积分的难度。由于它的重要性，故也称其为微积分基本定理。

牛顿-莱布尼茨公式通俗解释：他把曲线围成的面积转换为了曲线两头端点的计算，而与曲线中间形状无关，这就像高中学的重力作用，一个小球受到重力从 $a$ 点下降到 $b$，不管小球是自由落体下滑，还是沿着斜面下滑，甚至弯弯曲曲下滑，中间过程不重要，重力做的功仅与小球的始末位置有关，而且中间怎么走无关。

如果说牛顿-莱布尼茨是把二维面积的计算降维打击为一维曲线的计算，后面会学高斯公式，高斯公式是把三维得体积的计算降维打击为二维的曲面的计算。