二重积分（基础篇）

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@小白创作中心

二重积分（基础篇）

引用

CSDN

https://blog.csdn.net/2303_80204192/article/details/141634478

二重积分是高等数学中的一个重要概念，它将一元函数的定积分推广到了二元函数的积分。通过二重积分，我们可以计算曲顶柱体的体积、平面区域的质量分布等问题。本文将系统地介绍二重积分的基础知识，包括其定义、性质、计算方法以及相关的定理和技巧。

二重积分的概念

二重积分是将一元函数的定积分推广到二元函数的结果。设$f(x,y)$为定义在有界闭区域$D$上的二元函数，将$D$分割成$n$个小区域$\Delta \sigma_i$，在每个小区域上取点$(x_i,y_i)$，作和式
$$\sum_{i=1}^{n}f(x_i,y_i)\Delta \sigma_i$$
如果当所有小区域的直径最大值趋于0时，这个和式的极限存在，则称这个极限为函数$f(x,y)$在区域$D$上的二重积分，记作
$$\iint_{D}f(x,y)d\sigma$$

二重积分的不等式性质

二重积分的保号性

如果在区域$D$上，$f(x,y) \geq g(x,y)$，那么
$$\iint_{D}f(x,y)d\sigma \geq \iint_{D}g(x,y)d\sigma$$

二重积分的大于小于定理

如果在区域$D$上，$m \leq f(x,y) \leq M$，且$D$的面积为$S$，则
$$mS \leq \iint_{D}f(x,y)d\sigma \leq MS$$

二重积分的绝对值不等式

$$\left|\iint_{D}f(x,y)d\sigma\right| \leq \iint_{D}|f(x,y)|d\sigma$$

二重积分的中值定理

类似于一元定积分的中值定理，二重积分也有类似的中值定理。如果$f(x,y)$在闭区域$D$上连续，$m$和$M$分别是$f(x,y)$在$D$上的最小值和最大值，那么存在点$(\xi,\eta) \in D$，使得
$$\iint_{D}f(x,y)d\sigma = f(\xi,\eta)S$$
其中$S$是区域$D$的面积。

二重积分的计算

直角坐标系下的计算

二重积分在直角坐标系下的计算通常采用累次积分的方法。设区域$D$可以表示为
$$D = {(x,y) | a \leq x \leq b, \phi_1(x) \leq y \leq \phi_2(x)}$$
则
$$\iint_{D}f(x,y)d\sigma = \int_{a}^{b}dx\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}f(x,y)dy$$

极坐标系下的计算

在极坐标系下，二重积分的计算公式为
$$\iint_{D}f(x,y)d\sigma = \int_{\alpha}^{\beta}d\theta\int_{0}^{r(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdr$$
其中$r(\theta)$是区域$D$的边界曲线的极坐标方程。

极坐标注意事项：

别忘了积分函数还有$\rho$，且不要与定积分应用中的极坐标求平面面积公式搞混。
适合极坐标的二重积分特征：积分域指的是底面的定义域，定义域为圆形或者扇形的部分图形。
圆的圆心不在坐标轴上时，需要进行适当的平移和旋转变换。

二重积分的对称性

奇偶对称性

如果$f(x,y)$关于$x$轴对称，则
$$\iint_{D}f(x,y)d\sigma = 2\int_{0}^{b}dx\int_{0}^{\phi_2(x)}f(x,y)dy$$
如果$f(x,y)$关于$y$轴对称，则
$$\iint_{D}f(x,y)d\sigma = 2\int_{0}^{a}dy\int_{0}^{\phi_2(y)}f(x,y)dx$$

注意：二重积分也有线性可加性
用线性可加性处理部分有奇偶性的积分