线性代数的本质：线性变换与矩阵
线性代数的本质：线性变换与矩阵
线性代数是现代数学的一个重要分支，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。其中，线性变换与矩阵是线性代数的核心概念之一。本文将基于3Blue1Brown的视频内容，深入浅出地介绍线性变换的本质及其与矩阵的关系，帮助读者建立直观的几何理解。
线性变换（linear tranformation）
首先，什么是变换？变换实际就是函数（function）的一种，它接受输入，并输出结果。称之为变换则是在暗示从可视化的角度去看待它。
在线性代数中，我们往往输入一个向量，输出一个新的向量。如果一个变换接受一个向量，然后输出一个向量，我们就可以想象这个向量移动到新向量位置的过程。进一步地，我们可以想象整个平面的向量都做这个变换，移动到新的位置，这看起来就是整个平面在变形，变换给了我们扭曲空间的能力。
有非常多美妙而复杂的变换，而线性变换将变换限制为线性：
若一个变换具有以下两个性质，则说它是线性的：
- 所有直线在变换后还是直线
- 原点保持固定
描述线性变换——矩阵
现在的问题是，我们如何描述一个线性变换。也就是给出一定的描述或者操作，使得我们可以对所有向量这么做而得到变换后的新向量。
对于二维平面来说，我们实际上只需要知道基向量的新位置，其他向量都会随之而动。
这是由于线性变换本身的性质，而有一个重要的推论：一个向量如果是另两个向量的线性组合，则经过线性变换后，它仍然是它们相同的线性组合。
比如现在我们在原坐标系有个向量，这意味着这个向量可以如此表示：，现在我们知道，变换之后到了原来的位置，而到了原来的位置，那么我们就可以计算的变换后的位置是。
我们只需要记录下新的、的位置，我们就可以计算空间任意向量变换后到了哪里：对于任意的，我们通过来计算。也就是，我们只需要和这两个信息，就可以掌握这个线性变换。
通常我们将它们写在一起：，称之为矩阵（matrix）。**
**我们可以将它的两个列理解为两个特殊的向量——新的、的位置。
现在，如果你有一个2×2矩阵，和一个2维向量，而你想知道这个矩阵描述的线性变换对这个向量的作用，你只需要取出向量的两个坐标，分别数乘矩阵的两个列向量，然后相加即可。我们在书写时把矩阵放在这个向量的左边，就像函数（f(x)）一样。
换成一般形式，就是：
这就是矩阵向量乘法
总结
线性变换是一种操纵空间的手段，它保持网格平行等距分布且原点位置不变。 而这种变换我们只需要用变换后基向量的坐标就可以描述清楚，这些基向量坐标构成的矩阵提供了一种描述线性变换的语言，矩阵乘法就是计算这种线性变换作用的一个手段。
线性变换复合
现在考虑我们要连续做两个线性变换，比如说先逆时针转90°（），再进行剪切变换( ) 。通过画图我们可以看出，最终到达，到达。也就是，我们可以用矩阵来表示这这整个过程的一次性变换，也就是复合变换：
。
也就是说，先后对一个向量作用前两个线性变换，和直接做这个复合变换，得到的结果是一样的，写成表达式就是：
逆时针旋转
剪切
那么我们把这个新矩阵称为那两个矩阵的积就是非常合理的了。
那我们如何不做图，仅通过两个矩阵，计算它们的复合矩阵呢？联系矩阵的意义是表征一个线性变换，它指示了新的基向量坐标，那么我们现在的任务其实就是找到两次变换后基向量的坐标。
以矩阵和为例，求。
先经过，到了的位置，再经过，就会到的位置，也就是，也就是复合矩阵的第一列就是，同理可以计算。
所以我们可以总结：
更一般的形式：
这就是矩阵乘法。
而从线性变换的角度看矩阵乘法，很多代数上的问题就会清晰很多。
比如矩阵乘法有交换律吗？也就是成立是否成立的问题。
是不成立的，我们可以轻易举出反例：
先旋转再剪切的结果和先剪切再旋转的结果是不同的，这直接画图就可以看出，而无需计算。
先旋转再剪切
先剪切再旋转
还有就是结合律的问题，也即是否成立。这个从矩阵乘法和线性变换的联系上看，就是非常显然正确的，因为等式左右都无非是在按一样的顺序先后做A、B、C三个线性变换，当然结果是相等的。