小型无人机理论与应用学习笔记：第2章小型无人机坐标系
小型无人机理论与应用学习笔记：第2章小型无人机坐标系
小型无人机的飞行控制涉及到多个坐标系的转换，包括惯性坐标系、飞机坐标系、机体坐标系和风轴坐标系。本文将详细介绍这些坐标系的定义、转换关系以及相关的角度概念，帮助读者建立对无人机坐标系的全面理解。
2 坐标系
2.1 建立多个坐标系的原因
a）运动学方程在惯性系建立，但是在机体系描述运动更方便；
b） 空气动力和力矩施加于飞机本身，更容易在机体系描述；
c）加速度计、陀螺相对机体坐标系测量，GPS相对于惯性系测量位置、对地速度和航线角；
d）大多数任务需要的徘徊点、飞行轨迹等信息都是在惯性系中规定，此外，地图信息也在惯性系输出。
2.2 旋转矩阵
为了解决矢量在不同坐标系中的表达，需要定义不同坐标系之间的变换关系，坐标系旋转是其中一种方法，任意直角坐标系可用通过另一直角坐标系绕坐标轴的旋转最多3次获得。旋转矩阵的推导过程书里讲得很清楚，这里讲个记忆旋转矩阵的方法：
a）绕哪个轴旋转，先在旋转矩阵（3X3）对角线上相应位置填1，该行其余位置填0，例如绕x轴旋转，将1行1列填1,1行2列、1行3列填0。如绕y轴旋转，则将2行2列填1，以此类推。
b）除去1所在的行列，按[cos sin;sin cos]的顺序填写
c）将1所在行的上一行中sin置为-sin（记忆时，第1行的上1行为第3行），并将其余空位置0，得到最终绕某个坐标轴右手旋转的旋转矩阵
上面旋转矩阵应用于坐标系旋转，根据运动的相对性，若想表达矢量在同一坐标系下绕某个轴旋转，完全可以套用上面的旋转矩阵，只是矢量旋转时需将旋转矩阵中的θ \thetaθ加个负号。
2.3 小型无人机坐标系
之所以强调小型无人机，根本的区别就在于惯性坐标系的定义，由于小型无人机航程短，可以忽略地球自转，视地面为平面，因此近似认为地面坐标系为惯性系。
2.3.1 惯性坐标系F i F^iFi
惯性系（北东地）是与地球固连坐标系，其原点为地面一点，x轴指向正北，y轴指向正东，z轴指向地心。
2.3.2 飞机（运动）坐标系F v F^vFv
飞机坐标系原点是无人机质心，x轴指向正北，y轴指向正东，z轴指向地心。
2.3.3 机体坐标系F b F^bFb
机体坐标系原点是无人机质心，x轴指向飞机头部，y轴指向右翼，z轴指向机腹满足右手定则。
2.3.4 风轴（速度）坐标系F w F^wFw
速度系原点是无人机质心，x轴指向空速va方向，z轴位于飞机对称面内垂直x轴指向下，y轴垂直于x和z指向右。
2.4 几个重要的角度
根据不同坐标系之间的变换过程，引入几个重要的角度概念。
2.3.1 飞机坐标系F v F^vFv->机体坐标系F b F^bFb
引入三个欧拉角，偏航角ψ \psiψ（heading angle/yaw ）、俯仰角θ \thetaθ（pitch angle ）、滚动角ϕ \phiϕ（roll angle ），飞机坐标系F v F^vFv->机体坐标系F b F^bFb坐标系的变换，需要遵循如下顺序：
a）先绕飞机坐标系的z轴旋转偏航角ψ \psiψ；
b）再绕得到的新坐标系的y轴旋转俯仰角θ \thetaθ；
c）最后再绕得到的新坐标系的x轴旋转滚动角ϕ \phiϕ。
方便记忆，F v F^vFv->F b F^bFb，旋转矩阵R(ψ \psiψ,θ \thetaθ,ϕ \phiϕ)，一般简称该变换为321变换。
关于公式推导：
无人机控制系统设计涉及到很多公式推导过程，为避免人为错误，我一般用Matlab的符号函数进行公式的推导，然后用MathType进行最终的公式整理，方便文档编写。以F v F^vFv->F b F^bFb的旋转矩阵R(ψ \psiψ,θ \thetaθ,ϕ \phiϕ)推导为例，Matlab推导过程代码如下：
clc;clear;close all;
%**********2.1旋转矩阵******
%2.1.1平移
%飞机坐标系到机体坐标系321
syms psi theta phi; %批量定义符号含
az=psi; %此处赋值是为了方便代码重用
ay=theta;
ax=phi;
Rz=[cos(az) sin(az) 0;-sin(az) cos(az) 0;0 0 1]; %绕z轴旋转坐标系
Ry=[cos(ay) 0 -sin(ay);0 1 0;sin(ay) 0 cos(ay)]; %绕y轴旋转坐标系
Rx=[1 0 0;0 cos(ax) sin(ax);0 -sin(ax) cos(ax)]; %绕x轴旋转坐标系
R_v2b=simplify(Rx*Ry*Rz); %按照代数规则整理简化
disp(R_v2b);
旋转反变换：
由于变换矩阵是正交矩阵，逆矩阵与转置矩阵相等，因此：
F b F^bFb->F v F^vFv的旋转矩阵为R T R^TRT(ψ \psiψ,θ \thetaθ,ϕ \phiϕ)。
2.3.2 机体坐标系F b F^bFb->风轴（速度）坐标系F w F^wFw
引入攻角α \alphaα（angle of attack )、侧滑角β \betaβ（side-slip angle ），由于攻角与侧滑角的极性是按工程习惯定义的，因此机体坐标系F b F^bFb->风轴（速度）坐标系F w F^wFw的变换，需要遵循如下顺序：
a）绕机体坐标系y轴旋转− α -\alpha−α；
b）绕得到的新坐标系z轴旋转β \betaβ。
方便记忆，F b F^bFb->F w F^wFw，旋转矩阵R(− α -\alpha−α,β \betaβ)，一般简称该变换为23变换。
2.3.3 风三角关系
由于无人机的速度实际上有地速V g ⃗ \vec{V_g}Vg 与空速V a ⃗ \vec{V_a}Va 之分，在惯性系F i F^iFi中风速V w ⃗ \vec{V_w}Vw 、无人机的地速V g ⃗ \vec{V_g}Vg 与空速V a ⃗ \vec{V_a}Va 三个矢量的关系为：
V g ⃗ \vec{V_g}Vg =V a ⃗ \vec{V_a}Va +V w ⃗ \vec{V_w}Vw
a）一般对于航线跟踪等问题关注的是地速V g ⃗ \vec{V_g}Vg 与惯性系F i F^iFi的夹角：
航线角χ \chiχ（course angle）、航迹角γ \gammaγ（flight path angle）。
b）计算气动力时关注空速V a ⃗ \vec{V_a}Va 与机体F b F^bFb系的夹角：
攻角α \alphaα（angle of attack )、侧滑角β \betaβ（side-slip angle ）
相关资源：
https://github.com/byu-magicc/mavsim_public/blob/main/README.md
注：文章部分图片来自英文原版书PDF。