高中四个均值不等式 公式是什么

高中四个均值不等式 公式是什么

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均值不等式是高中数学中的一个重要知识点，广泛应用于各类数学问题的求解中。本文将详细介绍四种常见的均值不等式：算术平均不等式、几何平均不等式、平方平均不等式和调和平均不等式，并给出它们的一般形式和证明。

常用的四个均值不等式包括：算术平均不等式、几何平均不等式、平方平均不等式和调和平均不等式。高中均值不等式：a²+b²≥2ab；√(ab)≤(a+b)/2；a²+b²+c²≥（a+b+c）²/3；a+b+c≥3×三次根号abc。

四个均值不等式是什么

1. 算术平均不等式：对于任意非负实数a和b，成立不等式
   $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$。
   这个不等式告诉我们，如果两个数的和除以2大于等于它们的乘积的平方根，那么它们的和除以2至少不小于它们的乘积的平方根。

2. 几何平均不等式：对于任意非负实数a和b，成立不等式
   $\sqrt{ab} \geq \frac{a+b}{2}$。
   这个不等式告诉我们，如果两个数的乘积的平方根大于等于它们的和除以2，那么它们的乘积的平方根至少不小于它们的和除以2。

3. 平方平均不等式：对于任意非负实数a和b，成立不等式
   $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \geq \frac{a+b}{2}$。
   这个不等式告诉我们，如果两个数的平方和除以2的平方根大于等于它们的和除以2，那么它们的平方和除以2的平方根至少不小于它们的和除以2。

4. 调和平均不等式：对于任意正实数a和b，成立不等式
   $\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq \frac{a+b}{2}$。
   这个不等式告诉我们，如果两个数的倒数的平均值小于等于它们的和除以2的倒数，那么它们的倒数的平均值至少不大于它们的和除以2的倒数。

这四个常用的均值不等式在数学和实际问题中有广泛的应用，可以帮助我们建立或判断数值之间的关系。拓展知识：除了上述四个常用的均值不等式，还有一些其他的均值不等式，如夹逼定理、加权平均不等式等，它们在不同的数学领域和问题中也发挥着重要作用。

均值不等式的公式

1. 调和平均数：$H_n=\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+⋯+\frac{1}{a_n}}$

2. 几何平均数：$G_n=\sqrt[n]{a_1 a_2…a_n}$

3. 算术平均数：$A_n=\frac{a_1+a_2+⋯+a_n}{n}$

4. 平方平均数：$Q_n=\sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+⋯+a_n^2}{n}}$

5. 均值定理： 如果$a_1, a_2, …, a_n \in \mathbb{R}^+$，那么且仅当$a_1=a_2= … =a_n$时等号成立。

这四种平均数满足$H_n≤G_n≤A_n≤Q_n$

$a_1、a_2、… 、a_n∈R +$，当且仅当$a_1=a_2= … =a_n$时取“=”号

均值不等式的一般形式：设函数$D(r)=[（a_1^r+a_2^r+...a_n^r）/n]^{(1/r）}$（当$r\neq0$时）；

$（a_1a_2...a_n)^{(1/n）}$（当$r=0$时）（即$D(0)=(a_1a_2...a_n)^{(1/n）}$）

则 $H_n≤G_n≤A_n≤Q_n$仅是上述不等式的特殊情形，即$D(-1）≤D(0）≤D(1）≤D(2)$

由以上简化，有一个简单结论，中学常用$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}≤\sqrt{ab}≤\frac{a+b}{2}≤\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$

均值定理的证明：因为 $a 〉0 ， b 〉0 $所以 $\frac{a+b}{2} - \sqrt{ab} = \frac{a+b-2\sqrt{ab}}{2} = \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2} ≥ 0$

即 $\frac{a+b}{2}≥\sqrt{ab}$. 当且仅当$\sqrt{a}= \sqrt{b} ,等号成立。

本文原文来自高考网