三角函数图像与性质要点归纳及典型例题解析
三角函数图像与性质要点归纳及典型例题解析
三角函数是高中数学的重要内容之一，其图像与性质是高考的必考知识点。本文将对正弦、余弦、正切函数的图像与性质进行总结，并通过典型例题帮助读者更好地理解和掌握这些知识点。
一、正弦、余弦、正切函数的图像与性质
函数 | $y=\sin x$ | $y=\cos x$ | $y=\tan x$ |
|---|---|---|---|
图像 | |||
定义域 | $\mathbb{R}$ | $\mathbb{R}$ | $\left{x \mid x \neq k\pi + \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\right}$ |
值域 | $[-1, 1]$ | $[-1, 1]$ | $\mathbb{R}$ |
函数的最值 | 最大值1，当且仅当$x=2k\pi + \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$；最小值-1，当且仅当$x=2k\pi - \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$ | 最大值1，当且仅当$x=2k\pi, k \in \mathbb{Z}$；最小值-1，当且仅当$x=2k\pi - \pi, k \in \mathbb{Z}$ | 无最大值和最小值 |
单调性 | 增区间$[2k\pi - \frac{\pi}{2}, 2k\pi + \frac{\pi}{2}](k \in \mathbb{Z})$；减区间$[2k\pi + \frac{\pi}{2}, 2k\pi + \frac{3\pi}{2}](k \in \mathbb{Z})$ | 增区间$[2k\pi - \pi, 2k\pi](k \in \mathbb{Z})$；减区间$[2k\pi, 2k\pi + \pi](k \in \mathbb{Z})$ | 增区间$(k\pi - \frac{\pi}{2}, k\pi + \frac{\pi}{2})(k \in \mathbb{Z})$ |
奇偶性 | 奇函数 | 偶函数 | 奇函数 |
周期性 | 周期为$2k\pi, k \neq 0, k \in \mathbb{Z}$，最小正周期为$2\pi$ | 周期为$2k\pi, k \neq 0, k \in \mathbb{Z}$，最小正周期为$2\pi$ | 周期为$k\pi, k \neq 0, k \in \mathbb{Z}$，最小正周期为$\pi$ |
对称性 | 对称中心$(k\pi, 0), k \in \mathbb{Z}$ | 对称中心$(k\pi + \frac{\pi}{2}, 0), k \in \mathbb{Z}$ | 对称中心$(\frac{k\pi}{2}, 0), k \in \mathbb{Z}$ |
对称轴$x=k\pi + \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$ | 对称轴$x=k\pi, k \in \mathbb{Z}$ | 无对称轴 | |
零点 | $k\pi, k \in \mathbb{Z}$ | $k\pi + \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$ | $k\pi, k \in \mathbb{Z}$ |
二、周期函数的定义
对于函数$f(x)$，如果存在一个非零常数$T$，使得当$x$取定义域内的每一个值时，都有$f(x+T) = f(x)$，那么函数$f(x)$就叫做周期函数，非零常数$T$叫做这个函数的周期；函数$y = A\sin(\omega x + \varphi)$和$y = A\cos(\omega x + \varphi)$的周期均为$T = \frac{2\pi}{|\omega|}$；函数$y = A\tan(\omega x + \varphi)$的周期为$T = \frac{\pi}{|\omega|}$。
三、对称与周期
(1) 正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是$\frac{1}{4}$个周期。
(2) 正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期。
四、函数具有奇偶性的充要条件
函数$y = A\sin(\omega x + \varphi)(x \in \mathbb{R})$是奇函数$\Leftrightarrow \varphi = k\pi(k \in \mathbb{Z})$；
函数$y = A\sin(\omega x + \varphi)(x \in \mathbb{R})$是偶函数$\Leftrightarrow \varphi = k\pi + \frac{\pi}{2}(k \in \mathbb{Z})$；
函数$y = A\cos(\omega x + \varphi)(x \in \mathbb{R})$是奇函数$\Leftrightarrow \varphi = k\pi + \frac{\pi}{2}(k \in \mathbb{Z})$；
函数$y = A\cos(\omega x + \varphi)(x \in \mathbb{R})$是偶函数$\Leftrightarrow \varphi = k\pi(k \in \mathbb{Z})$。
典型例题
例1
为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点()
A. 向左平移个单位长度
B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度
D. 向右平移个单位长度
解析：
因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象。
答案：
D
例2
将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是()
A.
B.
C.
D.
解析：
由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，解得，又，故当时，的最小值为。
答案：
C
例3
函数是()
A. 最小正周期为的偶函数
B. 最小正周期为的奇函数
C. 最小正周期为的偶函数
D. 最小正周期为的奇函数
解析：
，所以是最小正周期为的偶函数。
答案：
A
例4
已知函数的最小值周期为，将的图象向右平移个单位长度，所得图象关于直线对称，则的一个值是()
A.
B.
C.
D.
解析：
由题可得，即，则函数的解析式为，将的图象向右平移个单位长度所得的函数解析式为：，又函数图象关于轴对称，当时，，则①，令，可得：，其余选项不适合①式。
答案：
B
例5
已知函数在单调递减，则的最大值为()
A.
B.
C.
D.
解析：
，令，解得，，因为，所以，则，故，解得，所以最大值为。
答案：
B
例6
函数的最小正周期和最小值分别为()
A. ，1
B. ，
C. ，1
D. ，1
解析：
由题设，，，所以的部分图象如下：
所以最小正周期和最小值分别为，1。
答案：
C
例7
已知函数的最小正周期为，将其图象沿x轴向左平移个单位，所得图象关于直线对称，则实数m的最小值为()
A.
B.
C.
D.
解析：
，即，由其最小正周期为，即，解得，所以，将其图象沿轴向左平移()个单位，所得图象对应函数为，其图象关于对称，所以，所以，由，实数的最小值为。
答案：
A
例8
若函数的图象关于直线对称，则()
A.
B. 0
C.
D.
解析：
由于函数的图象关于直线对称，所以，即，两边平方整理得，解得，则。
答案：
B
例9
已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是()
A. 该图象对应的函数解析式为
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数的图象关于点对称
D. 函数在区间上单调递减
解析：
由图象可知，即，又，所以，又，可得，又因为所以，所以，故A错误；当时，。故B错误；当时，，故C正确；当时，则，函数不单调递减。故D错误。
答案：
C
例10
若函数的一个零点为，则；
解析：
，，，，故答案为：1，
答案：
1，
例11
将函数的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数图象，则
解析：
向左平移个单位长度后得到偶函数图象，即关于轴对称，关于对称，，即：，，
本题正确结果：
例12
函数的单调增区间为
解析：
，令，，得，可得单调增区间为()。
故答案为：()。
例13
将函数的图像向右平移个单位，所得函数图象关于轴对称，则正数的最小值为
解析：
将函数的图像向右平移个单位变为，要使其为偶函数，则Z，则，，当时，为其最小值。
故答案为：。
例14
已知函数同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为π；②最大值为2；③；④。
(1)给出函数的解析式，并说明理由；
(2)函数在区间上的取值范围。
解析：
(1)函数同时满足条件①、②、④，不满足条件③。
解析：若函数满足条件③，则，与条件①矛盾，所以函数不满足条件③。由条件①知，由条件②知，由条件④知，所以。
(2)因为，所以，所以，所以，所以函数在区间上的取值范围是。
答案：
(1)函数的解析式为，不满足条件③。
(2)函数在区间上的取值范围是。
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