3维向量的点乘叉乘运算

3维向量的点乘叉乘运算

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/yiting1234/article/details/109497440

三维向量的点乘

点乘得到的是对应元素乘积的和，是一个标量，没有方向

$$
V1( x1, y1, z1)·V2(x2, y2, z2) = x1x2 + y1y2 + z1*z2
$$

点乘可以用如下公式表示含义，θ为两个向量的夹角

$$
A·B = |A||B|Cos(θ)
$$

通过上面的公式我们可以得到，两个向量的夹角以及一个向量在另一个向量上面的投影。

计算夹角：

$$
Cos(θ) = \frac{A·B}{|A|*|B|}
$$

计算A向量在B向量上面的投影S为:

$$
S = \frac{A·B}{|B|}
$$

三维向量的叉乘

对向量u, v叉乘，我们得到的是同时垂直于u又垂直于v的向量。用公式表达如下：

$$
n = u(x1, y1, z1) x v(x2, y2, z2)
= (y1z2 - y2z1, x2z1-z2x1, x1y2 -x2y1)
$$

用矩阵表达为：

叉乘的意义为，方向为两向量的组成平面的法向量方向，大小为两向量组成的平行四边形的面积。

点到直线的距离

计算点到直线距离可以用叉乘的数学含义来计算，向量叉乘的大小为两向量组成平行四边形的面积。已知O, 和A,B两点，计算O到AB的距离。

可以得到向量OA, 以及AB, 距离为

$$
S = \frac{|OA x AB|}{|AB|}
$$

点到平面的距离

点到平面的距离可以用点乘的方法来计算。如下图所示，只需要计算向量AP 在平面法向量的投影就可以得出。

假设平面的方程为Ax+By+Cz+D=0，点P的坐标为(x0,y0,z0)，则点P到平面的距离d为：

$$
d = \frac{|Ax0+By0+Cz0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}
$$