定轴转动与转动惯量

定轴转动与转动惯量

刚体的定轴转动是物理学中一个重要的概念，它描述了刚体绕固定轴旋转的运动方式。本文将从动量矩出发，引出转动惯量的定义，并介绍平行轴定理和惯量张量等重要概念，帮助读者深入理解刚体转动的物理本质。

定轴转动与转动惯量

定轴转动是刚体的一种十分常见的运动方式，刚体上的每个点都在做圆周运动，而且它们的运动轨迹的圆心都在一条直线上，该直线垂直与各个质点的运动平面。

我们称这条圆心所构成的直线为 转轴 ，转轴在运动过程中始终保持不变，故而称之为定轴转动。

显然在定轴转动这种运动方式中，刚体中各个质点的速度和加速度都不一样，此时再用速度和加速度来描述刚体的运动就没有任何意义了。

但是由于刚体的角速度矢量具有唯一性，所以一般都用角速度和角加速度来刻画刚体的运动。并且会根据动量矩变化定理来分析刚体的受力，建立微分方程。

本文中，我们主要关注刚体的转动惯量，通过分析动量矩的计算方式引出转动惯量的定义和计算方法。然后介绍平行轴定理，可以在一定程度上简化转动惯量的计算。

最后简单的讨论一下刚体的一般转动和惯量张量。

1. 动量矩和转动惯量

如右图所示，我们不妨在刚体的转轴上选取一点作为参考点，以转轴的方向为z轴，建立右手直角坐标系。该坐标系不随刚体的转动而运动，是一个惯性坐标坐标系。

刚体以ω的角速度绕着z转动，写成向量的形式就是ω=[00ω]T。

那么刚体上位置矢量为r=[xyz]T的质点的速度矢量v可以通过下式计算：

v=ω×r

若r处质点的质量为dm，那么该质点的动量矩可以计算如下：

dL⎡⎣⎢dLxdLydLz⎤⎦⎥==r×dmv=r×dm(ω×r)dm⎡⎣⎢−xz−yzx2+y2⎤⎦⎥ω

现在我们只关心其在转轴(z轴)上的分量dLz。记R2i=x2i+y2i为第i个质点到转轴的距离，那么转动惯量可以定义为：

I=∑R2imi

其中，mi是第i个质点的质量。对于质量连续的刚体，可以写成积分的形式：

I=∭R2dm=∭R2ρdv

式中，ρ是刚体的体积单元dv的密度。显然，转轴的位置不同，刚体的质量分布不同根据上式计算出的转动惯量也不一样。

如果我们对刚体的所有质点的动量矩进行积分，就可以得到刚体的动量矩。

它在转轴(z轴)上的分量可以写成转动惯量I与角速度ω的乘积：

Lz=Iω

如果刚体所受外力相对于参考点之矩在转轴(z轴)上的分量可以记为Mz，那么我们可以写出刚体定轴转动的微分方程：

dLzdt=Idωdt=Mz

2. 平行轴定理与薄板正交轴定理

根据转动惯量的定义式，我们已经看到转轴的不同，刚体的转动惯量也不一样。这给我们的计算带来了一些小麻烦。实际上如果有一个通过刚体质心的轴与转轴平行，

我们称该轴为 质心轴 ，那么刚体的转动惯量可以写成两个部分：

I=Ic+md2

其中，Ic为刚体相对于质心轴的转动惯量，m为刚体的质量，d是质心轴与转轴之间的距离。这就是所谓的 平行轴定理 。

如果刚体的质量分布在一个平面上，不妨设为xy平面，那么刚体绕x轴、y轴、z轴的转动惯量Ix,Iy,Iz之间存在关系：

Iz=Ix+Iy

这被称为刚体的 薄板正交轴定理 。

根据这两个定理，可以在一定程度上简化刚体转动惯量的计算。

3. 惯量张量

对于一般的情况而言，刚体的角速度矢量ω与其动量矩L的方向并不是平行的，它们之间可以通过左乘一个矩阵求得：

⎡⎣⎢LxLyLz⎤⎦⎥=⎡⎣⎢⎢∑mi(y2i+z2i)−∑miyixi−∑mizixi−∑mixiyi∑mi(x2i+z2i)−∑miziyi−∑mixizi−∑miyizi∑mi(x2i+y2i)⎤⎦⎥⎥⎡⎣⎢ωxωyωz⎤⎦⎥

我们用符号I标记这个矩阵，将之称为 惯量张量 。它的对角线上的元素分别是绕x,y,z三轴的转动惯量，其余的元素被称为 惯量积 。

上式可以简记为：

L=Iω

4. 完

虽然本文把刚体的运动限定在了定轴转动这一形式上，但是所介绍的转动惯量以及最后提及的惯量张量，是描述刚体惯性的一个通用指标。我们在分析刚体的一般运动的时候，

通常都会以质点为参考将其运动拆分为质点的平动与刚体的转动。在描述质点平动特性的时候，我们可以采用质量、速度、加速度来刻画质点的平动状态。

在描述刚体的转动时，则选用转动惯量或者说惯量张量、角速度、角加速度来刻画。