sin x / x 的极限证明：当x趋近于0时，为什么等于1？

sin x / x 的极限证明：当x趋近于0时，为什么等于1？

当x趋近于0时，sin x / x的极限等于1，这个结论在数学分析中非常重要。本文将通过几何方法，利用三角形和扇形的面积关系，证明这个结论。

如图所示，我们考虑单位圆中的一段弧，其圆心角为x（弧度制）。设点A在圆周上，点B在x轴上，点C在y轴上。则有：

• 小蓝三角形OAB的面积为：$A(OAB) = \frac{1 \cdot \sin x}{2} = \color{blue}{\frac{\sin x}{2}}$
• 带点的扇形面积为：$\pi \frac{x}{2\pi} = \frac{x}{2}$
• 大红三角形OAC的面积为：$A(OAC) = \frac{1 \cdot \tan x}{2} = \color{red}{\frac{\tan x}{2}}$

由于这些图形的面积关系，我们可以得到：
[0 < \sin x \leq x \leq \tan x, \quad \forall x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)]

由于$0 < \sin x$，我们可以进一步推导：
[
\begin{aligned}
\frac{\sin x}{\sin x} &\leq \frac{x}{\sin x} \leq \frac{\tan x}{\sin x} \
1 &\leq \frac{x}{\sin x} \leq \frac{1}{\cos x}
\end{aligned}
]

取倒数后得到：
[\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1]

由于$\cos x, \frac{\sin x}{x}, 1$都是偶函数，我们可以将上述不等式扩展到：
[\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1, \quad \forall x \in \left(-\frac{\pi}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2}\right)]

最后，应用夹逼定理（Squeeze Theorem）：
[\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = \lim _{x \rightarrow 0} \cos x = \lim _{x \rightarrow 0} 1 = 1]

因此，我们得出结论：
[\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1]