大学物理：机械波的全面解析
大学物理：机械波的全面解析
机械波是物理学中一个重要的概念，它描述了振动在介质中的传播过程。本文将详细介绍机械波的基本概念、平面简谐波的方程、波的能量和流密度、惠更斯原理、波的叠加原理、波的干涉、驻波以及多普勒效应等多个方面。通过本文的学习，读者将能够全面理解机械波的相关理论和应用。
波的基本概念
一、机械波产生的条件
机械波的产生需要满足两个条件：
- 有作机械振动的物体，即波源；
- 有连续的介质。
如果波动中使介质各部分振动的回复力是弹性力，则称为弹性波。弹性力可以分为正弹性力（压、张弹性力）和切弹性力。液体和气体弹性介质中只有正弹性力而没有切弹性力。
二、横波和纵波
- 横波：振动方向与传播方向垂直的波。
- 纵波：振动方向与传播方向平行的波。
横波只能在固体中传播，因为固体能承受切变。纵波能在所有物质中传播，因为它引起介质产生容变。
三、波线和波面
- 波场：波传播到的空间。
- 波线（波射线）：代表波的传播方向的射线。
- 波面：波场中同一时刻振动位相相同的点的轨迹。
- 波前（波阵面）：某时刻波源最初的振动状态传到的波面。
在各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直。沿波线方向各质点的振动相位依次落后。
四、简谐波
简谐波是波源以及介质中各质点的振动都是谐振动的波。任何复杂的波都可以看成由若干个简谐波叠加。
五、物体的弹性形变
弹性形变是指物体在一定限度的外力作用下形状和体积发生改变，当外力撤去后，物体的形状和体积能完全恢复原状的形变。
- 长变：在弹性限度范围内，应力与应变成正比，E称为弹性模量。
- 切变：相对面发生相对滑移。
- 容变：物体体积的变化。
六、描述波动的几个物理量
波速 u：振动状态（即位相）在单位时间内传播的距离，波速又称相速。在不同介质中，波速的计算公式不同。
波动周期和频率：
- 波的周期：一个完整波形通过介质中某固定点所需的时间，用T表示。
- 波的频率：单位时间内通过介质中某固定点完整波的数目，用v表示。
- 波长入：一波线上相邻的位相差为2入的两质点的距离。
平面简谐波的方程
一、平面简谐波的波动方程
1.一平面简谐波在理想介质中沿x轴正向传播
以某一波线为x轴，设原点振动方程为：
O点振动状态传到p点需用时：
t 时刻p处质点的振动状态重复：
2.沿x轴负向传播的平面简谐波的波动方程
二、波动方程的物理意义
如果给定x，即x=x0：
如果给定t，即t=t0
如x,t 均变化y=y(x,t)包含了不同时刻的波形
三、平面简谐行波的微分方程
波的能量和流密度
一、波的能量和能量密度
1.波的能量
体积元内媒质质点的总能量为：
说明：
(1) 在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。
(2)在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。
2.能量密度
单位体积介质中所具有的波的能量。平均能量密度是一个周期内能量密度的平均值。
二、波的能流和能流密度
1.能流：
单位时间内通过介质中某一截面的能量。平均能流是一个周期内能流的平均值。
2. 能流密度(波的强度)：
通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能量。
3.平面波和球面波的振幅
在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在行进方向上振幅不变，球面波的振幅与离波源的距离成反比。
三、波的吸收
波在实际介质中，由于波动能量总有一部分会被介质吸收，波的机械能不断减少，波强亦逐渐减弱。
惠更斯原理 波的衍射
一、惠更斯原理
介质中波阵面(波前)上的各点.都可以看做是发射子波的波源.其后任一时刻这些子波的包迹就是新的波阵面。
二、波的衍射
波在传播过程中遇到障碍物时，其传播方向要发生改变。波能绕过障碍物的边缘继续前进，这种现象叫波的衍射。
波的叠加原理 波的干涉
三、波的干涉
两列波若频率相同、振动方向相同、在相遇点的位相相同或位相差恒定，则在合成波场中会出现某些点的振动始终加强，另一些点的振动始终减弱(或完全抵消)，这种现象称为波的干涉。
1.相干条件
频率相同
振动方向相同
位相差恒定
2.波场中的强度分布
设s1、s2为两相干波源，其振动方程分别为：
传播到p点引起的振动分别为：
在p点的振动为同方向同频率振动的合成。合成振动为：
其中：
由于波的强度正比于振幅，所以合振动的强度为：
说明：
(1) 位相仅由位置决定，合振幅由波程差(r2-r1)决定，故这是一个稳定的叠加图样。即有干涉现象
(2) 干涉相长与干涉相消的条件：
驻波
驻波是两列振幅相同、相向传播的相干波的叠加称为驻波。
一、驻波方程
简单的，设两列相向传播的波在原点位相相同：
两波相遇，其合成波为：
函数不满足：
不具备传播的特征,它不是行波。它表示各点都在作简谐振动，各点振动的频率相同，是原来波的频率。但各点振幅随位置的不同而不同。
二、驻波的特点
1.波腹与波节
驻波振幅分布特点：
2.位相并不传播(驻波)
相邻两波节间各点振动位相相同； 波节两边各点振动位相相反。
3.驻波能量
驻波振动中无位相传播，也无能量的传播。能流密度为0.平均说来没有能量的传播，一个波段内不断地进行动能与势能的相互转换， 并不断地分别集中在波腹和波节附近而不向外传播。
三、半波损失
波阻(波的阻抗): 是指介质的密度与波速之乘积 z = pu.
1.若 p1u1 > p2u2 ,即波密-》波疏
若忽略透射:
反射波和入射波同相
2.若p1u1 < p2u2 ，即波疏——》波密
反射波有相位突变Π——半波损失
多普勒效应
一、多普勒效应
多普勒于1842年发现，当波源或观察者、或者两者同时相对于介质有相对运动时，观察者接收到的波的频率与波源的振动频率不同，这类现象称为多普勒效应或者多普勒频移。
1.波源不动，观察者相对于介质运动 v s=0, v B 不等于 0
观察者测得的波速 (vB>0)
在不考虑相对论效应时，观察者测得的波长 入‘=入
接收频率vB
当观察者向着波源运动时 (V B >0), 接收频率提高。
当观察者远离波源运动时 (V B <0) , 接收频率降低。
2.观察者不动，波源相对于介质运动 Vs 不等于0, vB=0
由于波源的运动，介质中的波长发生发变化。
波源向着观察者运动时 (Vs >0)
运动的前方波长缩短，波形被压缩
接收频率
若波源背离观察者运动 (Vs<0)
S 运动的后方波长伸长，则波形被拉长
接收频率会降低