给小学二年级的点集拓扑1

给小学二年级的点集拓扑1

点集拓扑是数学中的一个重要分支，它研究空间中点的集合以及它们之间的关系。虽然这个主题听起来很抽象，但通过本文的讲解，你将发现它其实并不难理解。让我们从最基础的概念开始，逐步探索点集拓扑的奇妙世界。

这一期主要来谈谈如何利用关系来区分两个点在空间中的不同位置。
下面先不严格地给出点集这一概念：
[非严格定义]一系列点的全体称为点集.
如果一系列点可以用一个个记号A，B，C......罗列，那么由这些点构成的集合就用记号{A, B, C...}表示，外面这层花括号就表示这是一个集合，而不是单纯的由记号A，B，C......罗列出来的一系列对象。如果我们要把一个集合画出来，就用一个圈圈住它所包含的元素。
比如说由五个点构成的集合{A, B, C, D, E}就可以画成如下图所示的样子：
虽然上面这幅图中画的代表集合的圈凹凸不平，并且圈子的线还有厚度，但是这只是为了视觉上的方便，它的含义是单纯的。正如一个点是仅仅代表了一个位置的单一存在，一个点集就是若干点的整体，它由它内部的点所唯一确定，并划定了一个范围：对于任意的点来说，要么属于这个集合，要么不属于这个集合。
比如说点集X只由两个点A，B组成，就记作{A, B}.
特殊地，由单独一个点x组成的集合称为单点集，记作{x}.
更特殊地，如果一个集合中不包含任何元素，称这样的集合为空集，记作{}.
在下一期讲到集合之间的基本关系的时候，就能进一步体会单点x和由x构成的单点集{x}的概念上的区别，以及空集存在的意义。
在上一期我们知道了点集拓扑的第一个概念，也就是点。一个点除了其空间位置这一特点以外，没有任何其他属性。想要区分两个不同的点，唯一可以考虑的就是它们占据的位置。点不同于“原子”一般的科学概念，需要我们不断进行实验以明白其本性，点集拓扑中的点是一个完全确定的，严格的概念。
但是决定点的唯一因素，也就是它的“空间位置”究竟意味着什么呢？更进一步的，“空间”究竟是什么呢？
在点集拓扑中，我们不给出“空间究竟是什么”这样一个问题的答案。我们把“点”看作是集合中的对象，它们的“空间位置的区分”通过集合论当中的具体处理来获得。我们所要做的全部内容，就是赋予一个结构，赋予的方式越“简单”越好，以区分集合当中元素的不同。
那么如何区分两个点的不同之处呢？其中一种方法就是添加两个点之间的某种关系。
试想一个只有两个点的空间，如果没有其他的特性，我们就无法区分这两个点。
有的人可能觉得，可以通过给这两个点添加一种关系，这样就能区分出谁是谁了。所有这样子的关系可以用一个单向箭头来表示：
在只有两个点A，B的空间{A, B}中，以下关系就得以区分这两个点的不同之处：
{A→B}.
在这个关系当中只有一个元素，也就是A→B，但是似乎已经可以用来区分A与B的不同。这是因为从A出发，有着指向B的箭头，但是从B出发，不存在指向A的箭头。
然而我认为这种做法是不合适的，有向箭头本身就带有“区分左右”这样子的意味，这本身就是一种结构。在没有必要的情况下，要先考虑更加“本真”的方法，看看不强加某种预设的条件下我们能走的多远。
在一个任意的关系当中，我们不否认AB和BA是两个不同的关系，它们可以单独存在。但是在点这儿行不通。单独的两个点何以确定这样一种“单向”的关系？单向箭头本身就带有关于空间位置的结构，如果认为箭头并不带有这种结构，就必然默认了有关A与B自身的某种属性，而这与点的概念相悖。
为了更好地理解这一点，试想在空无一物的宇宙中有两只完全一样的苹果，它们在颜色，大小，甚至味道等等所有方面都完全一样，你何以区分它们之间的不同？你可能会去做以下的尝试：从某个角度望过去，一只苹果离你更近，另外一只苹果离你更远。但是这这个“区分方法”中，定义了一个额外的观测点，两只苹果的位置的不同之处还是要通过观测点来体现出来。并且还假设在这样一个只有两只苹果的离谱宇宙中存在“距离”。
实际上在这样一个宇宙中，没有任何办法区分这两只苹果的不同，而它们事实上也的确没有任何区别——具有完全一样的内在属性，同时在空间位置上完全对称。空间中的苹果占据的两个位置的确没有任何差别，我们又有什么必要强行给它们划分出差别呢？（实际上这样的区分也是不可能的）
根据上边的讨论，我们发现两个点之间的关系不能带有有向箭头，只能是两个点A，B之间的对称的“某种”关系。
我们不妨用记号“”来表示关系。比如说“AB”的含义就是A与B之间存在名为“”的关系。
根据上边的讨论，两个点之间的关系要满足对称性。也就是说，如果AB，那么BA。因为在点这里，A与B的这两种关系总是成对出现，就没有必要像一般的关系图那样画两个方向相反的有向箭头，而是省略为一条连接A与B的线段：
正如拉康所言：“主体的真相在主体之外”，两个点之间的区别更是不在于它们自身（因为点是不可分割的单一存在）而在于它们与其他点之间的关系的不同上。
如何理解这一点呢？下面用一个只有三个点的空间的例子来说明：
我们用记号A，B，C分别代表这三个点，用满足对称性的关系来区分它们。A，B，C所有有关的关系由下面这个集合表示：
{AB, BA, BC, CB}.
画成关系图则是：

在这个关系当中，我们可以轻松地区分A与B的不同，因为B与C存在关系，而A与C不存在这一关系。
同理可以区分B与C的不同（为什么？留作习题）
但是我们仍然没法区分A与C的不同，在这个关系中，A与B存在关系，C与B同样也存在关系。
值得注意的一点是，在某些关系中，也可能存在一个点A与自身的关系，即AA.
由于点的特殊性，我们知道这样的关系只可能是一种“自我认同”，也就是“是自身”。如果有其他种类的关系，就说明作为一个点的A存在着一种内在的结构，而这与点的概念相悖。
在这种关系之下，所有点A都与自身有一个关系AA，而与其他所有点都不存在关系，表现为自环：
举个更复杂的例子，以下这六个点的空间{A, B, C, D, E, f}以及它们的关系：
{AB, BA, BC, CB, CD, DC, DA, AD, EC, CE, FE, EF}
不难发现E与F是可以互相区分的，因为E与ABCD组成的四元环直接相连，而F并不与它们直接相连。
A与B也是可以互相区分的，因为只有C与“尾巴”D与E相连，而A与这样唯一的C不直接相连，B却与C直接相连，这是它们之间的一个不同的性质，也是得以区分的关键。
但是B与D无法互相区分（思考为什么，留作习题）
这好像给了我们一个隐隐的担忧，一种关系要满足对称性，是否意味着一个关系下的空间总有至少两个点是无法互相区分的？
答案是否定的，我们有以下反例：
还是6个点的空间{A, B, C, D, E, F}.
我们定义以下关系：
{AB, BA, BC, CB, CA, AC, DA, AD, EB, BE, FE, EF}.

这样一个关系下，ABC组成的环可以互相区分，它们分别连着长度为1的“尾巴”D，长度为2的“尾巴”EF，以及没有“尾巴”。而DEF之间也可以互相区分，D是6个点中唯一一个单独成为一个“尾巴”的点，E是唯一一个不在三元环中，且与A有关系的点，F是唯一一个同时不与ABC产生关系，又与E产生关系的点。
由一个满足对称性的关系，我们得到了一个完全不对称的关系图，这图中的每一个点仅仅通过这样的关系就可以互相区分。
在我们熟悉的自然数中（虽然熟悉，之后还会仔细讨论）也可以定义这样一个关系：
两个自然数A与B有关系，仅当它们满足A=B+1或者B=A+1。
比如说自然数3和4就存在关系，34，这是由于4=3+1.
同时还有43，同样还是由于4=3+1.
不难发现这样的关系满足对称性。自然数0是唯一的，且是最小的自然数。与0有关系的唯一自然数是1，与1有关，且与0无关的唯一自然数是2，与2有关，且与1无关的唯一自然数是3......
在自然数集上定义的这种关系可以将每一个自然数都互相区分，画成图就是下面这样：
我们可以把每个自然数都看作是一个“点”，这种关系就自然地给出了无限多个点的线序排列，用关系集合表示就是：
{01,10, 12, 21, 23, 32, 34, 43...}.
神奇的地方在于，仅仅使用不带“方向”的关系，我们就把无限多个点排列在了一条有方向的射线上。
关系图也不一定是“连成一片”的，比如说在点集X={A, B, C, D, E}上的
关系：
{AB, BA, CD, D~C}
中，AB，CD分别连成两条独立的线段，而E只是一个孤立的点：
这三块区域就是互相不“连通”的，从A只能通过关系到达B，却无法到达C或者D，也无法到达E.
这种连通与否的性质被称为“连通性”，在研究关系图的理论（也就是是图论）中是很重要的概念。而在拓扑学中更是重量级，会花费大量的篇幅详细地讨论。当一个空间不连通时，我们可以把它分割成不同的连通分支来研究，甚至通过一些“粘合”的办法让它成为一个连通空间，不过这都是后话了。
（未完待续）