磁场中带电粒子的运动：圆周运动规律与解题技巧

磁场中带电粒子的运动：圆周运动规律与解题技巧

磁场中带电粒子的运动是高考物理的重要考点，主要考查带电粒子在磁场中的匀速圆周运动。处理这类问题时，关键在于确定圆心位置、半径大小以及运动时间。本文将通过多个典例，详细讲解带电粒子在磁场中运动的相关知识。

基本概念与方法

1. 圆心的确定

• 已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心（如图45－1所示，图中P为入射点，M为出射点）。
• 已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心（如图45－2所示，A为入射点，B为出射点）。

2. 半径的确定和计算

• 利用平面几何关系，求出某个圆的可能半径（或圆心角），要注意以下两个重要的几何特点：
• 速度的偏向角（φ）等于回旋角（α），等于AB弦与切线的夹角（弦切角θ）的2倍（φ＝α＝2θ＝ωt）。如图45－3甲所示。
• 相对的弦切角（θ）相等，与相邻的弦切角（θ′）互补，即θ＋θ′＝180°。如图45－3甲所示。
• 如果匀强磁场区域为一个半径为R的圆，如图45－3乙所示。过入射点和出射点分别作出与初速度和末速度垂直的直线，两条直线的交点（O′）即为圆周运动轨道的圆心；而沿速度方向的直线的交点（O）即磁场区域圆的圆心。由几何关系可知，粒子在磁场中的偏转角（φ）等于圆弧所对应的圆心角α。粒子圆周运动的半径满足Bqv＝mv²/r，粒子在磁场中的偏转角半角的正切为：tanα/2＝R/r＝BqR/mv。

3. 运动时间的计算

• 直接根据公式t＝s/v或t＝α/ω求出运动时间t。
• 粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间可由下式表示：t＝αT/2π或t＝αT/360°。

典型题型解析

题型一：带电粒子在磁场中的一般运动

对带电体在洛伦兹力作用下一般运动问题的分析思路：

1. 确定对象，并对其进行受力分析。
2. 根据物体受力情况和运动情况确定每一个运动过程所适用的规律（力学规律均适用）。
   总之解决这类问题的方法与纯力学问题一样，只是多了一个洛伦兹力，同时要特别注意：

• 洛伦兹力不做功，在应用动能定理、能量守恒定律时要尤其注意这一点；
• 洛伦兹力可能是恒力也可能是变力。

【典例1】
一个质量m＝0.1 g的小滑块，带有q＝5×10⁻⁴C的电荷，放置在倾角α＝30°的光滑斜面上（斜面绝缘），斜面置于B＝0.5 T的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里，如图45－6所示。小滑块由静止开始沿斜面下滑，其斜面足够长，小滑块滑至某一位置时，要离开斜面。问：
(1) 小滑块带何种电荷？
(2) 小滑块离开斜面时的瞬时速度多大？
(3) 该斜面的长度至少多长？

题型二：带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动公式的应用

【考法综述】
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，半径公式r＝mv/qB，周期公式T＝2πm/qB等，高考常围绕这两个公式，考查影响它们的各物理量间的关系。一般以改变一个变量看变化或比较两个不同粒子的各项指标的方式进行考查。

1. 洛伦兹力的特点

• 洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷速度方向和磁场方向确定的平面。
• 当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。
• 运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用。
• 根据左手定则判断洛伦兹力方向，但一定分正、负电荷。
• 洛伦兹力一定不做功。

2. 洛伦兹力与安培力的联系及区别

• 安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力。
• 安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功。

【典例2】
在如图所示的足够大匀强磁场中，两个带电粒子以相同方向垂直穿过虚线MN所在的平面，一段时间后又再次同时穿过此平面，则可以确定的是()。
A. 两粒子一定带有相同的电荷量
B. 两粒子一定带同种电荷
C. 两粒子一定有相同的比荷
D. 两粒子一定有相同的动能

【典例3】
(多选)如图所示，平面直角坐标系的第Ⅰ象限内有一匀强磁场垂直于纸面向里，磁感应强度为B。一质量为m、电荷量为q的粒子以速度v从O点沿着与y轴夹角为30°的方向进入磁场，运动到A点时速度方向与x轴的正方向相同，不计粒子的重力，则()。
A. 该粒子带正电
B. A点与x轴的距离为mv/2qB
C. 粒子由O到A经历时间t＝πm/3qB
D. 运动过程中粒子的速度不变

【典例4】
(多选)如图所示，在两个不同的匀强磁场中，磁感强度关系为B1＝2B2，当不计重力的带电粒子从B1磁场区域运动到B2磁场区域时（在运动过程中粒子的速度始终与磁场垂直），则粒子的()。
A. 速率将加倍
B. 轨道半径将加倍
C. 周期将加倍
D. 做圆周运动的角速度将加倍

【典例5】
两个质量相同、所带电荷量相等的带电粒子a、b，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入圆形匀强磁场区域，其运动轨迹如图所示。若不计粒子的重力，则下列说法正确的是()。
A. a粒子带正电，b粒子带负电
B. a粒子在磁场中所受洛伦兹力较大
C. b粒子的动能较大
D. b粒子在磁场中运动时间较长

【典例6】
在某平面上有一半径为R的圆形区域，区域内外均有垂直于该平面的匀强磁场，圆外磁场范围足够大，已知两部分磁场方向相反且磁感应强度都为B，方向如图45－4所示。现在圆形区域的边界上的A点有一个电荷量为q、质量为m的带电粒子以沿半径且垂直于磁场方向向圆外的速度经过该圆形边界，已知该粒子只受到磁场对它的作用力。
(1) 若粒子经过一系列圆周运动绕O点旋转一周时恰好能回到A点，试求：粒子运动速度v的可能值。
(2) 在粒子恰能回到A点的情况下，求该粒子回到A点所需的最短时间。

题型三：带电粒子在有界磁场中的运动

【考法综述】
有界匀强磁场是指只在局部空间存在的匀强磁场。带电粒子从磁场区域外垂直磁场方向射入磁场，在磁场区域内经历一段匀速圆周运动，也就是通过一段圆弧轨迹后离开磁场区域。由于带电粒子垂直进入磁场的方向不同或者由于磁场区域边界不同，造成它在磁场中运动的圆弧轨迹各不相同。

情形一：直线边界（进出磁场具有对称性，如图所示）

【典例7】
(多选)如图所示，直线MN上方存在范围足够大的磁感应强度为B的匀强磁场，一质子（质量为m、电荷量为e）以速度v从O点沿与MN成30°角的方向射入磁场中，若不计质子重力，则()。

A. 质子从磁场中射出时距O点的距离为mv/qB
B. 质子从磁场中射出时距O点的距离为√3mv/qB
C. 质子在磁场中运动的时间为3πm/5qB
D. 质子在磁场中运动的时间为5πm/3qB

情形二：平行边界（存在临界条件，如图所示）

【典例8】
如图所示，一个理想边界为PQ、MN的匀强磁场区域，磁场宽度为d，方向垂直纸面向里。一电子从O点沿纸面垂直PQ以速度v0进入磁场。若电子在磁场中运动的轨道半径为2d。O′在MN上，且OO′与MN垂直。下列判断正确的是()。
A. 电子将向右偏转
B. 电子打在MN上的点与O′点的距离为d
C. 电子打在MN上的点与O′点的距离为√3d
D. 电子在磁场中运动的时间为πd/3v

【典例9】
如图所示，在0≤x≤a、0≤y≤范围内有垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～90°范围内。已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的：
(1) 速度的大小；
(2) 速度方向与y轴正方向夹角的正弦。

情形三：圆形边界（沿径向射入必沿径向射出，如图所示）

【典例10】
如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v从A点沿直径AOB方向射入磁场，经过Δt时间从C点射出磁场，OC与OB成60°角。现将带电粒子的速度变为v/3，仍从A点沿原方向射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间变为()。
A. 1/2Δt
B. 2Δt
C. 1/3Δt
D. 3Δt

考法总结：

1. 求解此类问题的关键

• 一“画”：画好草图，确定带电粒子在磁场中的运动轨迹为圆周或圆弧；
• 二“找”：利用几何知识找出圆心；
• 三“确定”：确定圆周运动的半径。然后再根据公式qvB＝mv²/r列式求解。

2. 分析方法

• 画轨迹：根据题意分析带电粒子在磁场中的受力情况，确定它在磁场中的运动轨迹是圆还是一段圆弧，根据粒子入射、出射磁场时的方向，粗略画出粒子在磁场中的运动轨迹。
• 找圆心：在画出粒子在磁场中的运动轨迹的基础上，找出圆心的位置，圆心一定在与速度方向垂直的直线上，找圆心通常有两种方法：
• 已知入射方向和出射方向时，过入射点和出射点分别作入射方向和出射方向的垂线，其交点就是圆心，如图甲；
• 已知入射方向和出射点的位置时，利用圆上弦的中垂线必过圆心的特点找圆心。通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线。这两条垂线的交点就是偏转圆弧的圆心，如图乙。
• 确定半径：主要由几何关系求出，往往通过添加辅助线，构造直角三角形，然后利用直角三角形中的边角关系求出。
• 确定运动时间：首先利用周期公式，求出运动周期T＝2πm/qB，然后求出粒子运动的圆弧所对应的圆心角α，其运动时间t＝αT/2π。
• 确定圆心角：带电粒子射出磁场的速度方向与射入磁场的速度方向的夹角α，即为偏向角，它等于入射点与出射点所在两条半径的夹角。

特别提醒
轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，在磁场中运动的时间与周期、偏转角相联系。

题型四：带电粒子在磁场中的周期运动

【考法综述】
由于磁场的周期性的变化，导致运动也周期性的变化，这类题往往会导致答案不是唯一的，即多解问题。

【典例11】
如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场以MN为边界，左侧磁感应强度为B1，右侧磁感应强度为B2，B1＝2B2＝2 T，比荷为2×10⁶C/kg的带正电粒子从O点以v0＝4×10⁴m/s的速度垂直于MN进入右侧的磁场区域，则粒子通过距离O点4 cm的磁场边界上的P点所需的时间为()。
A. π/2×10⁻⁶s
B. π×10⁻⁶s
C. 3π/2×10⁻⁶s
D. 2π×10⁻⁶ s

【典例12】
如图所示，以ab为边界的两匀强磁场的磁感应强度为B1＝2B2＝B，现有一质量为m、带电荷量＋q的粒子从O点以初速度v沿垂直于ab方向发射。在图中作出粒子的运动轨迹，并求出粒子发射后第7次穿过直线ab时所经历的时间、路程及离开点O的距离。（粒子重力不计）

【典例13】
图(a)所示的xOy平面处于匀强磁场中，磁场方向与xOy平面（纸面）垂直，磁感应强度B随时间t变化的周期为T，变化图线如图(b)所示。当B为＋B0时，磁感应强度方向指向纸外。在坐标原点O有一带正电的粒子P，其电荷量与质量之比恰好等于2π/TB0。不计重力。设P在某时刻t0以某一初速度沿y轴正向从O点开始运动，将它经过时间T到达的点记为A。
(1) 若t0＝0，则直线OA与x轴的夹角是多少？
(2) 若t0＝T/4，则直线OA与x轴的夹角是多少？