欧拉37%法则：理性决策的最佳策略
欧拉37%法则：理性决策的最佳策略
欧拉37%法则，也称37%法则或最优停止理论，是一种决策策略，用于在不确定性下做出最优选择。例如在一系列相亲中，前37%的候选人仅用于观察，之后一旦遇到比之前所有人都好的，就选择那个人。该法则旨在最大化选择最佳选项的概率。
1. 欧拉37%法则概述
欧拉37%法则，也称37%法则或最优停止理论，是一种决策策略，用于在不确定性下做出最优选择。例如在一系列相亲中，前37%的候选人仅用于观察，之后一旦遇到比之前所有人都好的，就选择那个人。该法则旨在最大化选择最佳选项的概率。
2. 欧拉37%法则推导
2.1 问题提出与策略设定
假设一片玉米地有n个玉米。策略是先拒掉前面k个玉米（不去管这些玉米有多大），然后从第k+1个玉米开始，一旦看到比之前所有玉米都要大的，就毫不犹豫地选择它。这里k的取值很关键，太小了达不到尝试的效果，太大了又会导致真正可选的余地不多了。所以需要确定在n已知的情况下，k取何值时，按此策略选中最大玉米的概率最大。
2.2 概率公式构建
设k是定值，如果最适合的玉米出现在了第i个位置，k的概率记作P(k)。那么：
$$
P(k)=\sum_{i=k + 1}^{n}\frac{1}{n} \cdot \frac{k}{i - 1}=\frac{k}{n}\sum_{i=k + 1}^{n}\frac{1}{i - 1}
$$
2.3 公式近似处理
令x表示k/n的值，并且假设n充分大，此时上述公式可近似为：
$$
P(k)=x\int_{1}^{x}\frac{1}{t}dt=-x\cdot\ln x
$$
2.4 求最优值
对$-x\cdot\ln x$求导，并令这个导数为0，可以解出x的最优值。求导可得：
$$
-\ln x - x\cdot\frac{1}{x}=-\ln x - 1
$$
令其为0，则$\ln x = -1$，从而解得$x = \frac{1}{e}$。
2.5 得出37%法则
由于$\frac{1}{e}\approx0.37（e\approx2.718281828459）$，所以该法则也叫做37%法则。
也就是说，按照这个法则，在前37%的观察阶段只看不选，记住最大的样本情况，在后面的阶段中，一旦遇到比前面观察到的最大样本还要大或差不多大的，就选择它，这样能在类似的随机选择场景下尽可能选到较优的结果。但需要注意的是，37%法则并不能保证一定能选到最优的结果，只是一种基于概率的较优策略。
3. 欧拉37%法则应用
欧拉37%法则，也称为最优停止理论，是一种在不确定性条件下进行决策的数学策略。它起源于秘书问题，即如何在一系列候选人中选择最佳秘书的问题。这个法则不仅在理论上具有深刻的意义，而且在实际生活中也有广泛的应用。
3.1 经济学与金融领域的应用
在经济学和金融领域，最优停止理论被广泛应用于美式期权的交易中。投资者需要决定何时执行看涨或看跌期权以获得最大收益。通过使用最优停止理论，投资者可以更科学地制定决策，减少因市场波动带来的不确定性和风险。
3.2 行政文秘工作中的应用
在行政文秘工作中，信息管理是一个重要且繁琐的任务。通过建立完善的信息管理体系和采用信息处理软件，可以提高信息处理的效率和准确性。此外，培养信息处理能力，通过培训课程提高信息技能，也是应用37%法则的一种体现，即在观察和学习阶段积累经验，然后在决策阶段快速准确地处理信息。
3.3 个人生活中的应用
3.3.1 购房决策
在购房过程中，我们可以将37%法则应用于看房和决策过程。例如，如果你设定一个月内必须买到房子，那么前11天（即37%的时间）用于观察市场，了解你喜欢和不喜欢的房子，并记住最满意的房子。从第12天开始，一旦遇到比之前最满意的房子更好的选项，就毫不犹豫地购买。
3.3.2 择偶决策
在择偶问题上，37%法则同样适用。假设一个女性从20岁开始寻找伴侣，目标是在30岁前结婚，那么根据37%法则，23.7岁是观察期和决策期的分界点。在20岁到23.7岁之间，她应该只交往不结婚，但要记住最喜欢的那个人。23.7岁之后，一旦遇到一个比之前最喜欢的人还好或者差不多好的人，就应该选择和他结婚。
3.4 决策理论中的应用
最优停止理论在决策理论中提供了一个理性的框架，帮助我们在面对多个选择时，如何平衡探索和利用的关系。通过设定一个观察期，我们可以收集信息并确定一个基准，然后在决策期利用这些信息来做出最佳选择。
综上所述，欧拉37%法则不仅是一种理论上的数学模型，也是一种实际生活中理性决策的最佳策略。它帮助我们在不确定性中寻找确定性，减少决策的纠结和痛苦，提高决策的效率和效果。
秘书问题
在所有最优停止问题中，最大的难点不在于选择哪一种可选方案，而是确定自己需要考虑多少种可选方案。这些问题往往会引发不同的后果，不仅陷入爱河的人和需要租房的人必须慎重考虑，司机、房主、入室行窃者等也常常面临同样的抉择。
“37%法则”源于所谓的“秘书问题”——最优停止问题中最著名的一类难题。秘书问题的情境与我们前面考虑过的租房难题十分相似。假设一堆人申请一个秘书岗位，而你是面试官，你的目标是从这堆申请人中遴选出最佳人选。你不知道如何给每一名申请人评分，但是可以轻松地判断哪一名申请人更加优秀。（用数学语言来表述，就是说你只能看到序数，即申请人相互比较的排名，但是无法看到基数，即在一般性评分标准下的得分。）你按照随机顺序，每次面试一名申请人。你随时可以决定将这份工作交给其中一人，而对方只能接受，于是面试工作就此结束。但是，一旦你否决其中一名申请人，就不能改变主意再回头选择他。
普遍认为，秘书问题第一次出现在出版物中是在1960年2月，那一期的《科学美国人》杂志在马丁·伽德纳最喜欢的栏目——“趣味数学”专栏中刊登了几个难题，其中之一就是秘书问题，不过当时没有明确地提到“秘书”这个词。但是，这个问题到底从何而来，这是一个非常神秘的谜。除了一些推测以外，初期的调查没有任何确凿的结论。随后，我们风尘仆仆地赶到斯坦福大学，查阅伽德纳的文书档案。伽德纳在20世纪中期留下来的那一盒盒书信，出乎意料地把我们的调查变成了侦探工作。阅读书信有点儿像偷听别人打电话，你只能听到通话一方所说的话，因此需要推断另一方到底说了什么。从这些回信看，大约50年前，伽德纳本人似乎正在调查秘书问题的来源。但是，看完这些书信，我们更是一头雾水了。
哈佛大学数学家弗雷德里克·莫斯特勒回忆说，1955年，他听同事安德烈·格里森提到过这个问题，而格里森又是从其他人那里听说的。阿尔伯塔大学的里奥·莫泽在信中说，他曾经在波音公司R.E.加斯克尔的“笔记”中看到过这个问题，而加斯克尔本人则说他是从一位同事那里听说的。罗格斯大学的罗杰·平克汉姆称，他是1955年从杜克大学数学家J.舍恩菲尔德那里第一次听说秘书问题的，他还说：“我记得，他说他是从密歇根大学的某个人那里听说的。”
几乎可以肯定，“密歇根大学的某个人”其实就是梅里尔·弗拉德。尽管在数学界以外几乎没有人知道弗拉德，但是他对计算机科学的影响很难被忽略。他把“旅行商问题”变成了一个广为人知的内容，还设计了“囚徒的困境”，甚至“软件”（software）一词也可能是他造出来的。1958年，他成了已知的第一个发现37%法则的人，同时他宣称，他从1949年就开始考虑这个问题了。但是，在说到最初来源时，弗拉德本人提到了另外几名数学家。
秘书问题是一个近乎完美的数学难题：问题本身表述简单，解题难度非常高，答案简洁明了，而影响力又足以让人产生浓厚的兴趣。因此，通过人们的口口相传，这个问题以燎原之势在20世纪50年代的数学界迅速蔓延开来。1960年，在伽德纳专栏的推波助澜之下，它又大大地激发了普通大众的想象力。至20世纪80年代，秘书问题已经变成了一个研究分支，无数人撰文讨论这个问题及与其相关的变体。
至于这个问题是如何与秘书产生联系的，这是一个非常有意思的过程——每种文化的社会偏爱都会对社会的形式系统产生影响。例如，在我们的心中国际象棋是中世纪欧洲人的象征，但是实际上国际象棋起源于8世纪的印度。15世纪，粗暴的“欧洲化”过程把沙阿（即国王）变成了王，维齐尔（即高官）变成了王后，而大象则成了基督教主教的形象。最优停止问题同样有多种不同化身，每种化身都是当时关注热点的某种反映。19世纪，最优停止问题的典型形式是巴洛克彩票和女性挑选求婚者的行为；20世纪初，常见的表现形式是驾车度假的人挑选宾馆、男性选择约会对象；在官僚作风盛行、男性占主导地位的20世纪中叶，最典型的最优停止问题是讨论男性老板如何挑选女性助手的问题。第一次明确提出“秘书问题”的是发表于1964年的一篇论文，自此之后，这个名称就再也没有发生变化。