物体受到F=kv阻力下的运动分析

物体受到F=kv阻力下的运动分析

在高中物理学习中，物体受到与速度成正比的阻力（F=kv）的运动是一个常见的考点，但也是许多学生感到困惑的概念。本文将通过详细的数学推导和实例分析，帮助读者深入理解这种运动的特点及其在不同物理场景中的应用。

物体受到F=kv阻力下的运动分析

考虑一个质量为m的物块在光滑水平面上的运动，初速度大小为v_0，受到一个始终与速度方向相反、大小为kv的阻力作用。我们来分析物块的位移与时间、速度与时间、加速度与时间以及速度与位移的关系。

基本推导

设v_0方向为正方向，对物块进行受力分析可得：
[ kv = -ma ]
由于加速度a可以表示为速度对时间的导数，即 ( a = \frac{dv}{dt} )，因此有：
[ kv = -m\frac{dv}{dt} ]
整理得到：
[ \frac{1}{kv}dv = -\frac{1}{m}dt ]

对上式两边积分：
[ \int \frac{1}{kv}dv = -\int \frac{1}{m}dt ]
[ \frac{1}{k} \ln v = -\frac{1}{m}t + C ]

由初始条件 ( t=0 ) 时 ( v=v_0 )，可得 ( C = \frac{\ln v_0}{k} )。因此：
[ v = v_0e^{-\frac{k}{m}t} ]

接下来求位移与时间的关系：
[ x = \int vdt = \int v_0e^{-\frac{k}{m}t}dt ]
[ x = -\frac{mv_0}{k}e^{-\frac{k}{m}t} + C ]

由初始条件 ( t=0 ) 时 ( x=0 )，可得 ( C = \frac{mv_0}{k} )。因此：
[ x = \frac{mv_0}{k}(1-e^{-\frac{k}{m}t}) ]

对速度与时间的关系式求导可得加速度与时间的关系：
[ a = -\frac{kv_0}{m}e^{-\frac{k}{m}t} ]

联立速度与位移的关系式：
[ v = v_0 - \frac{k}{m}x ]

联立位移与加速度的关系式：
[ a = \frac{k^2}{m^2}x - \frac{k}{m}v_0 ]

物体受到F=kv阻力下的运动变式——单棒无外力切割磁感线的运动

考虑一个水平导轨光滑、宽为L、电阻为R的系统，给导体棒以水平初速度v_0。导体棒受到的安培力 ( F = \frac{B^2L^2v}{R} )，其中 ( k = \frac{B^2L^2}{R} )。

根据前面的分析，导体棒的速度与位移成线性关系，速度随位移均匀减小，即：
[ v = v_0e^{-\frac{B^2L^2}{mR}t} ]
[ v = v_0 - \frac{B^2L^2}{mR}x ]

物体受到F=kv阻力下的运动变式——下落物体受到kv阻力作用下的运动

考虑一个质量为m的小球从足够高处静止开始下落，下落过程中受到始终与速度方向相反、大小等于kv的阻力作用。

对小球进行受力分析：
[ mg - kv = ma \Rightarrow mg - kv = m\frac{dv}{dt} ]

分离变量并积分：
[ \frac{1}{m}dt = \frac{1}{mg - kv}dv ]
[ \int \frac{1}{m}dt = \int \frac{1}{mg - kv}dv ]
[ \frac{t}{m} + C = -\frac{1}{k}\ln(mg - kv) ]

由初始条件 ( t=0 ) 时 ( v=0 )，可得 ( C = -\frac{1}{k} \ln mg )。因此：
[ v = \frac{mg}{k}(1 - e^{-\frac{k}{m}t}) ]

接下来求位移与时间的关系：
[ \frac{dx}{dt} = \frac{mg}{k}(1 - e^{-\frac{k}{m}t}) ]
[ \frac{k}{mg}dx = (1 - e^{-\frac{k}{m}t})dt ]

积分得到：
[ \frac{k}{mg}x + C = t + \frac{m}{k}e^{-\frac{k}{m}t} ]

由初始条件 ( t=0 ) 时 ( x=0 )，可得 ( C = \frac{m}{k} )。因此：
[ x = \frac{mg}{k}t + \frac{m^2g}{k^2}(e^{-\frac{k}{m}t} - 1) ]

进一步整理得到：
[ x = \frac{m}{k}\left[\frac{mg}{k}\ln\left(\frac{mg}{mg - kv}\right) - v\right] ]

电磁感应中无动力的双杆切割磁感线问题

2024年高考中，双杆切割磁感线问题是一个热门考点。考虑水平面内两根足够长的光滑导轨，导轨间距为L，导轨平面有垂直纸面向里的磁场，磁感应强度大小为B，两根相同的光滑导体棒1、2放在导轨上，质量为m，导体棒长为L，两导体棒相距足够远，导轨电阻不计，两导体棒的总电阻为R_总，现给其中一导体棒水平初速度v_0。

问题分析

（1）整个过程中导体棒1、2的运动情况：

• 导体棒1先做加速度减小的减速运动，后做匀速运动；
• 导体棒2先做加速度减小的加速运动，后做匀速运动；
• 最终两导体棒相对静止，一起做匀速直线运动。

（2）整个过程产生的热量：

• 根据动量守恒：( mv_0 = 2mv_共 )
• 根据能量守恒：( Q = \frac{1}{2}mv_0^2 - \frac{1}{2}2mv_共^2 = \frac{1}{4}mv_0^2 )

（3）整个过程中导体棒1、2的相对位移：

• 对导体棒1：( -\frac{B^2L^2}{R_总}\sum ΔvΔt = mv_共 - mv_0 )
• 对导体棒2：( \frac{B^2L^2}{R_总}\sum ΔvΔt = mv_共 )
• 可解得：( v_共 = \frac{v_0}{2} )，相对位移 ( x = \sum ΔvΔt = \frac{mv_0R_总}{2B^2L^2} )

（4）整个过程中流过导轨的电荷量：

• 回路中流过的电荷量 ( Q = It = \frac{BL}{R_总}\sum ΔvΔt = \frac{mv_0}{2BL} )

运动关系推导

对导体棒1：
[ -\frac{B^2L^2}{R_总}(v_1 - v_2) = ma_1 = m\frac{dv_1}{dt} ]

对导体棒2：
[ \frac{B^2L^2}{R_总}(v_1 - v_2) = ma_2 = m\frac{dv_2}{dt} ]

可得：
[ -m\frac{dv_1}{dt} = m\frac{dv_2}{dt} \Rightarrow -dv_1 = dv_2 ]

积分得到：
[ -v_1 = v_2 + C ]

代入初始条件 ( v_1 = v_0 )，( v_2 = 0 ) 得 ( C = -v_0 )，即 ( v_0 = v_1 + v_2 )。

将 ( v_0 = v_1 + v_2 ) 代入第一个方程消去 ( v_2 )：
[ -\frac{B^2L^2}{R_总}(2v_1 - v_0) = m\frac{dv_1}{dt} ]

分离变量并积分：
[ -\frac{B^2L^2}{mR_总}dt = \frac{1}{2v_1 - v_0}dv_1 ]
[ -\frac{B^2L^2}{mR_总}\int dt = \int \frac{1}{2v_1 - v_0}dv_1 ]

可得：
[ -\frac{B^2L^2}{mR_总}t + C = \frac{1}{2}\ln(2v_1 - v_0) ]

由初始条件 ( t=0 )，( v_1=v_0 )，可得 ( C = \frac{1}{2}\ln v_0 )。因此：
[ v_1 = \frac{v_0}{2}(1 + e^{-\frac{2B^2L^2}{mR_总}t}) ]

代入 ( v_0 = v_1 + v_2 ) 可得：
[ v_2 = \frac{v_0}{2}(1 - e^{-\frac{2B^2L^2}{mR_总}t}) ]

同理可得位移与时间的关系：
[ x_1 = \frac{mv_0R_总}{4B^2L^2}\left(\frac{2B^2L^2}{mR_总}t - e^{-\frac{2B^2L^2}{mR_总}t} + 1\right) ]
[ x_2 = \frac{mv_0R_总}{4B^2L^2}\left(e^{-\frac{2B^2L^2}{mR_总}t} + \frac{2B^2L^2}{mR_总}t - 1\right) ]

同理可得位移与速度的关系：
[ x_1 = \frac{mv_0R_总}{4B^2L^2}\left[2 - \ln\left(\frac{2v_1}{v_0} - 1\right) - \frac{2v_1}{v_0}\right] ]
[ x_2 = -\frac{mv_0R_总}{4B^2L^2}\left[\ln\left(1 - \frac{2v_2}{v_0}\right) + \frac{2v_2}{v_0}\right] ]

结论

通过以上分析可以看出，物体在受到与速度成正比的阻力作用下，其运动特性具有一定的规律性。这种运动虽然在高考中不作具体过程分析的要求，但通过深入理解其背后的物理原理和数学推导，可以帮助学生更好地掌握相关知识点，提高解题能力。