动手学运动规划：1.2 车辆运动学 - 阿克曼转向模型
动手学运动规划：1.2 车辆运动学 - 阿克曼转向模型
阿克曼转向模型是一种用于解决车辆转弯时内外侧转向轮路径差异的几何模型。该模型由德国工程师Lankensperger于1817年提出，并由Rudolph Ackermann于1818年申请专利。本文将详细介绍阿克曼转向模型的基本参数、几何关系和状态转移方程。
1.2.1 阿克曼转向模型（Ackermann steering geometry）
阿克曼转向模型是一种为了解决交通工具转弯时，内外转向轮路径指向的圆心不同的几何学，这个想法是由德国车辆工程师“Lankensperger”于1817年提出的，之后由他的英国代理商Rudolph Ackermann于1818年提出专利。
依据阿克曼转向几何设计的车辆在转弯时，两个前轮是转向角不一样.内侧轮比外侧轮的转向角大;两个后轮不转向;四个轮子路径的圆心会交汇到同一个点,也就是瞬时转向中心.
(1) 基本参数
- v : 车辆速度。
- (X, Y) : 车辆后轴中心位置。
- O : 车辆瞬时转向中心。
- R : 车辆瞬时转向半径。
- θ : 航向角,车辆当前位置与横坐标的夹角，即车辆的行驶方向。
- ω : 车辆绕瞬时转向中心旋转的角速度。
- δi, δo : 内侧前轮转角,外侧前轮转角。
- L : 轴距,前后轮之间的距离。
- W : 车辆宽度
- Δt : 时间步长
(2) 前轮偏角的几何关系
由于阿克曼模型的两前轮转角不同,可以分别得到
内侧前轮转角,外侧前轮转角,平均前轮转角:
$$
\begin{aligned}
\tan(\delta_o) &=\frac{L}{R+\frac{W}{2}} \
\tan(\delta_i) & =\frac{L}{R-\frac{W}{2}}\
\tan(\delta) &= \frac{\delta_o+\delta_i}{2} \
&\cong \frac{L}{R}
\end{aligned}
$$
将1,2式取倒并相减可得:
$$
\frac{1}{\tan \delta_o}-\frac{1}{\tan \delta_i}=\frac{r+w / 2}{l}-\frac{r-w / 2}{l}=\frac{w}{l}
$$
同样的方式,减去平均前轮转角可得:
$$
\begin{aligned}
\cot \delta_i-\cot \delta & =\frac{R-W / 2}{L}-\frac{R}{L}=-\frac{W}{2 L} \Leftrightarrow \cot \delta_i=\cot \delta-\frac{W}{2 L} \
\cot \delta_o-\cot \delta & =\frac{R+W / 2}{L}-\frac{R}{L}=+\frac{W}{2 L} \Leftrightarrow \cot \delta_o=\cot \delta+\frac{W}{2 L}
\end{aligned}
$$
整理可得内,外侧前轮转角与平均前轮转角的关系:
$$
\begin{aligned}
\delta_i&=\tan ^{-1}\left(\frac{2 L \sin \delta}{2 L \cos \delta-W \sin \delta}\right) \
\delta_o&=\tan ^{-1}\left(\frac{2 L \sin \delta}{2 L \cos \delta+W \sin \delta}\right)\
\delta&=tan ^{-1}\left(
\frac{2 L \sin \delta_i}
{2 L \cos\delta_i+W\sin \delta_i}
\right) \
&=tan ^{-1}\left(
\frac{2 L \sin \delta_o}
{2 L \cos\delta_o-W\sin \delta_o}
\right)
\end{aligned}
$$
(3) 状态转移方程
完整的状态转移方程与自行车模型类似,代入相关参数即可
$$
\begin{align*}
\dot{x}&=v_{x_i} \Delta t \
\dot{y}&=v_{y_i}\Delta t \
\dot{\theta}&\approx{\omega} \
&=\frac{v}R \
&= \frac{v}{L} \tan(\delta)\
&=\frac{2 v \sin \delta_i} {2 L \cos\delta_i+W\sin \delta_i} \
&=\frac{2 v \sin \delta_o} {2 L \cos\delta_o-W\sin \delta_o}
\end{align*}
$$
在规划算法中,一般不需要这么复杂的运动学模型,阿克曼转向模型应用不多. 大部分情况下,自行车模型即可.后续我们会在控制专题中详细介绍,因此这里不提供相关代码.