图解虚数 i 的意义
图解虚数 i 的意义
虚数，这个听起来神秘的数学概念，其实并不像我们想象的那么难以理解。通过直观的图形和简单的数学推导，我们可以轻松地掌握虚数i的几何意义以及复数的加法和乘法运算。
有人在Stack Exchange问了一个问题：
"我一直觉得虚数（imaginary number）很难懂。中学老师说，虚数就是 -1 的平方根。i = √-1 可是，什么数的平方等于 -1 呢？计算器直接显示出错！直到今天，我也没有搞懂。谁能解释，虚数到底是什么？它有什么用？"
帖子的下面，很多人给出了自己的解释，还推荐了一篇非常棒的文章
- A Visual, Intuitive Guide to Imaginary Numbers – BetterExplained
https://betterexplained.com/articles/a-visual-intuitive-guide-to-imaginary-numbers/
我读后恍然大悟，醍醐灌顶，原来虚数这么简单，一点也不奇怪和难懂！下面，我就用自己的语言，讲述所理解的虚数。
一、什么是虚数？
首先，假设有一根数轴，上面有两个反向的点：+1 和 -1。这根数轴的正向部分，可以绕原点旋转。显然，逆时针旋转180°，+1就会变成-1。
这相当于两次逆时针旋转90°。
因此，可以得到下面的关系式：
( + 1 ) ∗ ( 逆时针旋转 90 ° ) ∗ ( 逆时针旋转 90 ° ) = ( − 1 )
如果把+1消去，这个式子就变为：
( 逆时针旋转 90 ° ) 2 = ( − 1 )
将 " 逆时针旋转90°" 记为i ：
i 2 = ( − 1 )
这个式子很眼熟，它就是虚数的定义公式。所以，我们可以知道，虚数i 就是逆时针旋转90°，i 不是一个数，而是一个旋转量。
二、复数的定义
既然i 表示旋转量，我们就可以用i ，表示任何实数的旋转状态。
将实数轴看作横轴，虚数轴看作纵轴，就构成了一个二维平面。旋转到某一个角°的任何正实数，必然唯一对应这个平面中的某个点。只要确定横坐标和纵坐标，比如( 1 , i ) ，就可以确定某个实数的旋转量45°。数学家用一种特殊的表示方法，表示这个二维坐标：用 + 号把横坐标和纵坐标连接起来。比如，把( 1 , i ) 表示成1 + i 。这种表示方法就叫做复数（complex number），其中1 称为实数部，i 称为虚数部。
为什么要把二维坐标表示成这样呢，下一节告诉你原因。
三、虚数的加法
虚数的引入，大大方便了涉及到旋转的计算。
比如，物理学需要计算 “力的合成”。假定一个力是3 + i ，另一个力是1 + 3 i ，请问它们的合成力是多少？
根据 “平行四边形法则”，你马上得到，合成力就是( 3 + i ) + ( 1 + 3 i ) = ( 4 + 4 i )
这就是虚数加法的物理意义。
四、虚数的乘法
如果涉及到旋转角度的改变，处理起来更方便。
比如，一条船的航向是3 + 4 i
如果该船的航向，逆时针增加45°，请问新航向是多少？
45°的航向就是1 + i 。计算新航向，只要把这两个航向3 + 4 i 与1 + i 相乘就可以了（原因在下一节解释）：
( 3 + 4 i ) ∗ ( 1 + i ) = ( − 1 + 7 i )
所以，该船的新航向是− 1 + 7 i 。
如果航向逆时针增加90°，就更简单了。因为90°的航向就是i ，所以新航向等于：
( 3 + 4 i ) ∗ i = ( − 4 + 3 i )
这就是虚数乘法的物理意义：改变旋转角度。
五、虚数乘法的数学证明
为什么一个复数改变旋转角度，只要做乘法就可以了？
下面就是它的数学证明，实际上很简单。
任何复数a + b i ，都可以改写成旋转半径r 与横轴夹角θ 的形式。
假定现有两个复数a + b i 和c + d i ，可以将它们改写如下：
a + b i = r 1 ∗ ( c o s α + i s i n α )
c + d i = r 2 ∗ ( c o s β + i s i n β )
这两个复数相乘，( a + b i ) ( c + d i ) 就相当于
r 1 ∗ r 2 ∗ ( c o s α + i s i n α ) ∗ ( c o s β + i s i n β )
展开后面的乘式，得到
c o s α ∗ c o s β − s i n α ∗ s i n β + i ( c o s α ∗ s i n β + s i n α ∗ c o s β )
根据三角函数公式，上面的式子就等于
c o s ( α + β ) + i s i n ( α + β )
所以，
( a + b i ) ( c + d i ) ＝ r 1 ∗ r 2 ∗ ( c o s ( α + β ) + i s i n ( α + β ) )
这就证明了，两个复数相乘，就等于旋转半径相乘、旋转角度相加。
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虚数的意义 - 阮一峰的网络日志作者： 阮一峰 日期： 2012 年 9 月 24 日