解析函数的洛朗展开

解析函数的洛朗展开

洛朗展开是复变函数论中的一个重要概念，它允许我们在解析函数的奇点附近将其展开成幂级数。这种展开方式不仅在数学理论中有着重要的地位，还在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。本文将详细介绍洛朗展开的理论基础和推导过程。

在一个解析函数的奇点的邻域将该函数展开成幂级数，这种展开被称为洛朗展开。从理论表述的形式上看，洛朗展开的形式与泰勒展开的形式相似。

在《解析函数的泰勒展开》中，我们已经把一个解析函数在某个解析点的邻域展开成幂级数，结果发现，所得到的级数是一个泰勒级数，没有负幂项。

正如前面所说，即使是一个解析函数，也有可能在某些点上是奇异的。如果一个解析函数在复平面上有一个奇点，也可以在这个奇点的邻域将该解析函数展开成幂级数，这种展开被称为解析函数的洛朗展开。

设想有一个解析函数，它在复平面上有一个奇点，在以该奇点为圆心、半径为的圆周内，除了这个奇点外，没有别的奇点。以该奇点为圆心、半径为无穷小作一个圆周，把这个奇点隔离，就得到一个环形区域(这是一个复连通区域)，如下左图所示。在这个环形区域内，所研究的函数没有奇点。

在上述环形区域内，用割线将两个圆周连接起来，构成一个单连通区域，它的边界：其中沿段按顺时针方向行进，所以，用来标记曲线的字母的右上角带有一个负号，和分别是割线的上岸和下岸，如上右图所示。在这个单连通区域内应用柯西积分公式：由于沿割线上、下两岸的积分相消(参见《柯西定理》中的说明)，只剩下前面两个积分。如果把沿的积分的行进方向改为逆时针方向，就得到如下结果：

先来看第一个积分。与泰勒展开的情况相似，在第一个积分中，由于函数变量在闭合积分路径所围的区域内，积分变量在积分路径上，因此，把被积函数中的分母因子改写成以下形式：现在，等式右边最后一个分式中有一个因子它的模小于1，可以借用实变级数理论的泰勒展开公式，把改写后的分式展开成幂级数：把这个幂级数代入上述对的积分中，并利用上述幂级数在圆周内一致收敛，可以逐项求积分的特点，就能够将沿的积分计算出来：其中的通项系数

再来看第二个积分。在这个积分中，由于函数变量在闭合积分路径所围的区域外，积分变量在积分路径上，因此，把被积函数中的分母因子改写成以下形式：与前面的情况相似，等式右边最后一个分式中有一个因子它的模也小于1，仍然可以借用实变级数理论的泰勒展开公式，把改写后的分式展开成幂级数：把这个幂级数代入上述对的积分中。由于，这个幂级数在闭合积分路径外一致收敛，可以逐项求积分。为了使积分的形式看起来与沿积分的形式一致，在把求和号与积分号互换之前，先对求和指标做指标替换，令把分式的级数表达式改写成如下的样子：把这个式子代入积分式中逐项积分：

其中的通项系数

把沿和的两个积分合并起来，就得到了对闭合路径的积分结果：

这个结果被称为解析函数的洛朗展开。

与泰勒展开的情况相似，一个解析函数的洛朗展开的收敛范围由它的奇点的分布特性完全决定。需要注意的是，在洛朗展开中，展开系数的表达式与函数的阶导数在点的值的表达式很相似。这种联想有助于我们记住这个表达式，但是，这仅仅是一种联想，不具有任何实际的可操作性，因为函数在点的导数根本就不存在。

与泰勒展开的情况一样，一个解析函数在某个环域内的洛朗展开是唯一的，称之为洛朗展开的唯一性定理。利用唯一性定理，当我们对一个解析函数做洛朗展开时，可以用已知的结果通过拼凑的方式得到我们所需要的级数。