匀变速直线运动的重要推论

匀变速直线运动的重要推论

匀变速直线运动的重要推论

匀变速直线运动的常用推论

(1)平均速度公式：做匀变速直线运动的物体在一段时间内的平均速度等于这段时间内初、末时刻速度矢量和的一半，还等于中间时刻的瞬时速度.即: $\overline{v}=\frac{{v}{0}+v}{2}={v}{\frac{t}{2}}$ 。此公式可以求某时刻的瞬时速度。

(2)位移差公式: 连续相等的相邻时间间隔 $T$ 内的位移差相等.

即： $\Delta x={x}{2}-{x}{1}={x}{3}-{x}{2}=\cdots ={x}{n}-{x}{n-1}=a{T}^{2}$ 。

不相邻相等的时间间隔 $T$ 内的位移差 ${x}{m}-{x}{n}=(m-n)a{T}^{2}$ ，此公式可以求加速度.

初速度为零的匀加速直线运动的四个重要比例式

(1)$T$末、$2T$末、$3T$末、$\cdots$末、$nT$末的瞬时速度之比为 ${v}{1}:{v}{2}:{v}{3}:\cdots :{v}{n}=$ $1:2:3:\cdots :n$.

(2) 前 $T$ 内、前 $2T$ 内、前 $3T$ 内、$\cdots$ 、前 $nT$ 内的位移之比为 ${x}{1}:{x}{2}:{x}{3}:\cdots :{x}{n}=1:4:9:\cdots :{n}^{2}$.

(3) 第 1 个 $T$ 内、第 2 个 $T$ 内、第 3 个 $T$ 内、$\cdots$ 、第 $n$ 个 $T$ 内的位移之比为 ${x}{\text{I}}:{x}{\text{II}}:{x}{\text{III}}:\cdots :{x}{\text{NI}}=1:3:5:\cdots :(2n-1)$.

(4) 从静止开始通过连续相等的位移所用时间之比为 ${t}{1}:{t}{2}:{t}{3}:\cdots :{t}{n}=$ $1:(\sqrt{2}-1):(\sqrt{3}-\sqrt{2}):\cdots :(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})$.

匀变速直线运动中常见思想方法及选取技巧

例1

如图的平潭海峡公铁两用大桥是世界上最长的跨海公铁两用大桥，其中元洪航道桥的 $A、B、C$ 三根桥噋间距分别为 $AB=132m、BC=196m$.一列高速列车匀加速通过元洪航道桥，车头经过 $AB$ 和 $BC$ 的时间分别为 3 s 和 4 s ，则这列高速列车经过元洪航道桥的加速度大小约为

A. $0.7m/{s}^{2}$

B. $1.4m/{s}^{2}$

C. $2.8m/{s}^{2}$

D. $6.3m/{s}^{2}$

解：高速列车在 $AB$ 段的平均速度为 ${v}{1}=\frac{AB}{{t}{1}}=44m/s$,在 $BC$ 段的平均速度为 ${v}{2}=\frac{BC}{{t}{2}}=49m/s$ ，根据匀变速直线运动的平均速度等于中间时刻的瞬时速度,可知 $a=\frac{{v}{2}-{v}{1}}{\frac{{t}{1}}{2}+\frac{{t}{2}}{2}}\approx 1.4m/{s}^{2},B$ 正确.

例2

物体从静止开始做匀加速直线运动，已知第 4 s 内与第 2 s 内的位移之差是 8 m ，则下列说法错吴的是 A. 物体运动的加速度为 $4m/{s}^{2}$

B. 第 2 s 内的位移为 6 m

C. 第 2 s 末的速度为 $2m/s$

D. 物体在 $0\sim 5s$ 内的平均速度为 $10m/s$

解：根据位移差公式得 ${x}{4}-{x}{2}=2a{T}^{2}$, 可知 $a=\frac{{x}{4}-{x}{2}}{2{T}^{2}}=\frac{8}{2×{1}^{2}}m/{s}^{2}=4m/{s}^{2}$故 A 正确，不符合题意；

第 2 s 内的位移为 ${x}{2}-{x}{1}=\frac{1}{2}a{t}{2}{}^{2}-\frac{1}{2}a{t}{1}{}^{2}=\frac{1}{2}×4×\left({2}^{2}-{1}^{2}\right)m=6m$, 故 B 正确, 不符合题意;

第 2 s 末的速度为 $v=a{t}_{2}=4×2m/s=8m/s$ ，故C错误，符合题意；

物体在 $0\sim 5s$ 内的平均速度 $\overline{v}=\frac{{x}{5}}{{t}{5}}=\frac{\frac{1}{2}at{t}{5}^{2}}{{t}{5}}=\frac{\frac{1}{2}×4×{5}^{2}}{5}m/s=10m/s$,故 D 正确，不符合题意.

例3

如图所示, 一冰壸以速度 $v$ 垂直进入三个完全相同的矩形区域做匀减速直线运动，且刚要离开第三个矩形区域时速度恰好为零，则冰壸依次进入每个矩形区域时的速度之比和穿过每个矩形区域所用的时间之比分别是

A. ${v}{1}:{v}{2}:{v}_{3}=3:2:1$

B. ${v}{1}:{v}{2}:{v}_{3}=\sqrt{3}:\sqrt{2}:1$

C. ${t}{1}:{t}{2}:{t}_{3}=1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$

D. ${t}{1}:{t}{2}:{t}_{3}=(\sqrt{3}-\sqrt{2}):(\sqrt{2}-1):1$

因为冰壸做匀减速直线运动, 且末速度为零, 故可以看成反向的初速度为零的匀加速直线运动。初速度为零的匀加速直线运动中通过连续三段相等位移的时间之比为 $1:(\sqrt{2}-1):(\sqrt{3}-\sqrt{2})$, 故 ${t}{1}:{t}{2}:{t}{3}=$ $(\sqrt{3}-\sqrt{2}):(\sqrt{2}-1):1$, 选项 C 错误, D 正确;由 ${v}^{2}-{v}{0}^{2}=2ax$ 可得, 初速度为零的匀加速直线运动中通过连续相等位移的速度之比为 $1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$, 故 ${v}{1}:{v}{2}:{v}_{3}=\sqrt{3}:\sqrt{2}:1$, 选项 A 错误, B 正确.