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MPSK（多相移键控）原理与应用详解

创作时间:

作者:

@小白创作中心

MPSK（多相移键控）原理与应用详解

引用

CSDN

https://m.blog.csdn.net/qq_51011530/article/details/144254038

MPSK（多相移键控）是一种重要的数字调制技术，在现代通信系统中有着广泛的应用。本文将详细介绍MPSK的基本原理、性能指标及其在实际应用中的权衡考虑。

1. 什么是MPSK？

MPSK（多相移键控）是一种数字调制方式，通过改变载波的相位来传输数据。调制信号的星座图中，每个相位点表示一个符号，对应多个二进制比特。

例如：

BPSK（2-PSK）: 每个符号表示1比特（相位有两个点）。
QPSK（4-PSK）: 每个符号表示2比特（相位有四个点）。
16-PSK: 每个符号表示4比特（相位有16个点）。

星座图显示相邻符号点的距离随着M值（相位数）的增加而缩短，这直接影响符号间的误差概率。

2. 符号错误率（SER）的公式推导

1. 符号错误率公式的核心

原公式为：
$$
P_e = 1 - \text{erf} \left( \sin \left( \frac{\pi}{M} \right) \sqrt{\frac{E}{N_0}} \right)
$$

其中：

$P_e$：符号错误率（SER），即符号检测错误的概率。
$\text{erf}(\cdot)$：误差函数，描述噪声干扰信号的概率分布。值越大，噪声影响越小，错误率越低。
$\sin \left( \frac{\pi}{M} \right)$：星座图中相邻符号点的角度间距，反映符号点的密集程度。
$\sqrt{\frac{E}{N_0}}$：信噪比$E/N_0$的平方根，衡量信号能量相对于噪声功率密度的比值。

该公式表明：

当符号数M增大时，相邻符号点更近，$\sin \left( \frac{\pi}{M} \right)$减小，误差函数的输入参数变小，符号错误率$P_e$增大。
当信噪比$E/N_0$增大时，误差函数的输入参数变大，符号错误率$P_e$减小。

2. 公式改写为载噪比形式

为便于计算，我们用载波功率C和总噪声N表示信噪比，定义为：
$$
C = \frac{E}{T_o}, \quad N = N_0 B
$$

将$E/N_0$替换为载噪比$C/N$后，符号错误率公式变为：
$$
P_e = 1 - \text{erf} \left( (T_o B)^{1/2} \sin \left( \frac{\pi}{M} \right) \sqrt{\frac{C}{N}} \right)
$$

3. 各项的物理意义

(1)$T_o B$的意义

$T_o$：单个符号的持续时间。
$B$：信号的总带宽。
$T_o B$：单位带宽内传输一个符号所需的时间。
在奈奎斯特速率条件下，$T_o B = 1$，表示带宽和符号速率完全匹配。
当$T_o B > 1$时，带宽不足，会增加符号间干扰（ISI）；当$T_o B < 1$时，带宽资源浪费。

(2)$\sin \left( \frac{\pi}{M} \right)$的意义

它表示星座图中相邻符号点的间距，用于衡量符号间的分辨能力。
当M增大时，$\sin \left( \frac{\pi}{M} \right)$减小，相邻点更密集，符号错误率上升。

(3)$\sqrt{\frac{C}{N}}$的意义

它是载噪比$C/N$的平方根，表示信号能量相对于总噪声能量的比值。更高的$C/N$提高信号的抗噪能力，降低错误率。

3. 位错误率（BER）的公式推导

由于一个MPSK符号可能映射到多个比特，一个符号错误可能导致多个比特错误，因此需要从符号错误率推导位错误率：
$$
P_b = \frac{P_e}{\log_2 M}
$$

推导说明：

Gray编码：
为了降低符号错误引起的比特错误数量，MPSK常用Gray编码，使每个符号错误仅引发一个比特错误。
Gray编码降低了误差传播：符号错误只影响一个比特，因此有效地减少了位错误率。
例如，二进制顺序中 011→100 相邻的两码字差了 3 位；而 Gray 编码中 010→110 相邻只差了 1 位。
能量关系：
每个比特的能量$E_b = E / \log_2 M$，代入$P_e$公式，得：
$$
P_b = \frac{1}{\log_2 M} \left[ 1 - \text{erf} \left( \sin \left( \frac{\pi}{M} \right) \sqrt{\log_2 M \cdot \frac{E_b}{N_0}} \right) \right]
$$

4. 带宽与频谱效率

定义：

比特速率$R_b$：每秒传输的比特数。
带宽$B$：信号占用的频谱范围。
频谱效率$h_b$：每单位带宽传输的信息量（bit/s/Hz）。

在无ISI的情况下，最大可能的频谱效率发生在脉冲成形使得信号以双边奈奎斯特速率传输。对于奈奎斯特速率条件$B = R_b / \log_2 M$，MPSK的频谱效率为：
$$
h_b = \log_2 M \ (\text{bit/s/Hz})
$$

1. 什么是 ISI？

ISI（符号间干扰，Inter-Symbol Interference）是通信系统中的一种常见干扰现象，发生在传输过程中，由于信号波形的扩展或失真，不同符号的信号相互重叠，导致接收端难以区分符号之间的边界。

2. ISI 的产生原因

带宽受限：
由于信号带宽受到通道限制，理想的矩形脉冲信号无法维持，信号的时域波形会产生扩展。
多径效应：
信号通过无线信道时，由于反射或折射，接收端可能会接收到同一符号的多个时延版本。
非理想滤波器：
通信系统中的滤波器（如发送端或接收端滤波器）可能引入额外的波形失真。

3. 无 ISI 的条件

在无 ISI 的情况下，符号间不会相互干扰，这可以通过奈奎斯特准则来实现。

奈奎斯特第一准则（带宽条件）：当信号的带宽B满足：$B = \frac{R_s}{2} = \frac{1}{2T_o}$时，ISI 可以被完全消除。

$R_s = 1 / T_o$是符号速率（每秒传输的符号数）。
双边奈奎斯特速率（双边带宽）为$B = 1 / T_o$。

脉冲成形：
通过设计满足奈奎斯特第一准则的理想脉冲（如理想矩形脉冲或根升余弦脉冲），可以将符号的波形限制在不产生 ISI 的范围。

4. 频谱效率公式

在无 ISI 条件下，频谱效率定义为单位带宽内传输的信息量（bit/s/Hz）：
$$
h_b = \log_2 M \ (\text{bit/s/Hz})
$$

M：调制阶数。
$\log_2 M$：每个符号携带的信息比特数。

示例：

BPSK（2-PSK）：$M = 2$，每符号携带$\log_2 2 = 1$比特，频谱效率$h_b = 1$bit/s/Hz。
16-PSK：$M = 16$，每符号携带$\log_2 16 = 4$比特，频谱效率$h_b = 4$bit/s/Hz。

5. 有 ISI 的情况

ISI 的表达公式：假设接收到的信号为$y(t)$，则 ISI 的数学形式为：
$$
y(t) = \sum_{n} x_n h(t - nT) + \eta(t)
$$

$x_n$：第n个符号。
$h(t)$：系统的冲激响应。
$nT$：符号的时间偏移。
$\eta(t)$：信道噪声。

ISI 的来源：

当冲激响应$h(t)$的能量分布跨越多个符号周期T时，符号间会发生叠加，导致 ISI。

6. 如何解决 ISI？

为了消除或减小 ISI，通信系统通常采取以下方法：

奈奎斯特滤波器：

设计发送和接收端滤波器，使系统的总频率响应满足奈奎斯特准则。
常见滤波器：根升余弦滤波器（Root-Raised Cosine Filter）。

均衡器：

在接收端使用均衡器（如线性均衡或判决反馈均衡器）来消除信号中的 ISI 成分。

增加带宽：

在带宽足够的情况下，通过减小符号速率$R_s$，减少符号间重叠。

here we see the trade-off between achieving high spectral efficiency$h_b = \log_2 M$ and low error probability$P_b < 10^{-6}$(or high power efficiency$E_b$).

高频谱效率与低误差概率的权衡

(1) 高频谱效率：
频谱效率衡量系统单位带宽内传输的信息量，用$h_b = \log_2 M$表示，单位为 bit/s/Hz。

较高的M（如 16-PSK）意味着频谱效率高，因为每个符号携带更多的比特。
缺点是符号点更密集（星座图中点间距更近），使得误差概率（BER 和 SER）升高。

(2) 低误差概率（高功率效率）：
功率效率反映系统在一定误差性能（如$P_b < 10^{-6}$）下所需的$E_b/N_0$值。

低阶调制（如 BPSK 或 QPSK）需要的$E_b/N_0$较低（高功率效率）。
缺点是频谱效率较低。

(3) 功率效率的定义

功率效率的衡量标准：

用每比特能量$E_b$和噪声功率密度$N_0$的比值$E_b/N_0$来表示。
**更小的$E_b/N_0$**意味着功率效率更高，因为系统可以在较低的信噪比下达到目标误码率。

实际意义：

在传输中，较低的$E_b/N_0$表示需要更少的发射功率来达到一定的传输可靠性（低误码率）。
功率效率越高，通信系统越适合低功率场景（如电池供电设备、卫星通信等）。

1. 频谱效率的定义

频谱效率（$h_b$）是通信系统的关键性能指标，用于衡量单位带宽内传输的信息量，单位为bit/s/Hz。其公式为：
$$
h_b = \log_2 M \ (\text{bit/s/Hz})
$$

M：调制阶数，表示星座图中的符号数。
$\log_2 M$：每个符号携带的信息比特数。

2. 频谱效率的计算

频谱效率与比特速率$R_b$和带宽B的关系为：
$$
h_b = \frac{R_b}{B}
$$

对于 MPSK 调制：

每个符号携带$\log_2 M$比特。
符号速率$R_s = 1/T_o$，即每秒传输的符号数。
因此，比特速率$R_b$为：
$$
R_b = R_s \cdot \log_2 M = \frac{\log_2 M}{T_o}
$$
将$R_b$和$B = 1/T_o$带入频谱效率公式：
$$
h_b = \frac{R_b}{B} = \frac{\frac{\log_2 M}{T_o}}{\frac{1}{T_o}} = \log_2 M \ (\text{bit/s/Hz})
$$

这表明：频谱效率仅取决于调制方式的阶数M。