一道中考数学题多种解法的探究及思考
一道中考数学题多种解法的探究及思考
“一题多解”是提升学生“四能”的重要途径。以一道山西中考数学题为例，详细探究了七种不同解法的自然生成过程，把握数学解题的本质，实现从“一题多种解法”到“多解归为一法”的转化，提升数学思维品质和实现数学核心素养的发展。
《教育部关于加强初中学业水平考试命题工作的意见》中明确提出：试题命制要求提高探究性、开放性、综合性试题的比例，注重考查思维过程、创新意识和分析问题、解决问题的能力，这对学生的综合素质提出了更高的要求。“一题多解”不仅能够深化学生对数学基础知识和基本技能的认识，更有助于数学思维品质的提升和数学核心素养的培育，是发展学生综合素质的有效途径。本文中以一道中考数学题为例，以问题驱动为导引，探究各种解法自然生成的过程。
1 题目呈现与分析
题目图1是一个高为4 cm的无盖的五棱柱盒子（直棱柱），图2是其底面，在五边形ABCDE中，BC=12 cm，AB=DC=6 cm，∠ABC=∠BCD=120°，∠EAB=∠EDC=90°.试判断图2中AE与DE的数量关系，并加以证明.
本题是山西省2015年中考数学第23题的任务二的第（1）题，我们以该题为例探究其多种解法自然生成的过程.此题以五边形为背景来判断线段间的数量关系，虽“形”简单明了，但“神”丰富深远，需要学生通过观察、猜测、推理与论证等寻求解决问题的方法[1]，而且所给的条件（BC=12 cm）在解决此问题中不是必要条件，使得该问题解决的思路多元化，极具开放性，对学生分析、解决问题和推理论证等综合能力提出了挑战.
分析：根据已有的解题经验，往往直接连接EB和EC（如图3），使得要证的AE和DE分别位于Rt△ABE和Rt△DCE中，然后证明这两个三角形全等.梳理Rt△ABE和Rt△DCE全等的条件，已知AB=CD，因此，只需要证明EB=EC或者一组角对应相等即可.通过多次尝试发现，要证明EB=EC，则在△EBC中需要证明∠EBC=∠ECB，即证∠EBA=∠ECD.这样从要证的条件寻找需要证明的条件，最后追溯到要证的条件，导致了循环论证，解题思路受阻，解题方法看似简单却不易解决问题.
2 思路分析及解法
思路1：依据线段间的位置关系观察图形，发现AE与DE具有相同的端点，连接AD，使得这两条线段在同一个三角形中，问题就由证明线段相等转化为证明角相等.
解法1：如图4，连接AD，AC，BD，根据全等三角形的判定定理（SAS），可以得到△ABC≌△DCB，从而AC=DB.
根据全等三角形的判定定理（SSS），可以得到△ABD≌△DCA，从而∠DAB=∠ADC.
又已知∠EAB=∠EDC=90°，由等量减等量其差相等，得∠EAD=∠EDA.
根据同一三角形中等角对等边，可知AE=DE.
是否还有更加简洁且迂回较少的解答？是否可以由其他不同的方式推导出这个结果[2]？
思路2：关注线段间的数量关系，发现解法1中没有涉及具体线段的长度关系，但明显能发现此题中存在的线段长度关系，如BC=2AB=2DC.于是自然想到取BC的中点E′，连接AE′，DE′，从而问题转化为与解法1相同的情况.
解法2：如图5，取BC的中点E′，连接AE′，DE′，AD.根据E′是BC中点，BC=12 cm，AB=DC=6 cm，可得BE′=E′C=AB=DC，所以△ABE′和△DCE′为等腰三角形，从而∠BAE′=∠AE′B=∠DE′C=∠E′DC.
根据全等三角形的判定定理（SAS），可以得到△ABE′≌△DCE′，从而AE′=DE′.
根据同一三角形中等边对等角，可知∠DAE′=∠ADE′.又∠EAB=∠EDC=90°，由等量减等量其差相等，得∠EAD=∠EDA，根据同一三角形中等角对等边，可知AE=DE.
与解法1相比，证明步骤减少了，证明过程更加简洁明了.但辅助线添设的还是较多，能否减少辅助线呢？
思路3：构造平行四边形.由上述两种解法得到启示，要证AE=DE，实质是将二者放在同一个特殊图形内研究，除了三角形，还可以将它们放在同一个四边形内.由解法2发现，取BC中点E′，连接AE′，DE′后，问题就由证明线段相等转化为证明四边形AEDE′是平行四边形.
解法3：如图6，取BC的中点E′，连接AE′，DE′.根据全等三角形的判定定理（SAS），可以得到△ABE′≌△DCE′，从而AE′=DE′，∠BE′A=∠CE′D.
根据题中所给条件，可得∠BAE′=∠AE′B=∠DE′C=∠E′DC=30°，从而∠AE′D=120°.
又已知∠EAB=∠EDC=90°，所以∠EAE′=∠EDE′=60°，进而∠E=120°.
根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得AE∥DE′，AE′∥ED，从而四边形AEDE′是平行四边形，进而AE=DE′，DE=DE′，所以AE=DE.
解法3克服了分割成三角形的思维定势，拓展了证明的思路，直观上减少了辅助线的数量.下面我们继续探究，是否添加一条辅助线即可？
思路4：利用补形的方法构造特殊图形.进一步反思解法1～3发现，证明两条线段相等实质是把已有的图形分割成基本图形去研究.由此滋生出补形的想法，进而将已知图形补形成不同的基本几何图形，从而简化证明过程.通过解法1和2得到启示，连接AD，要证明结论，只需说明AD∥BC即可，根据已有的条件无法直接证明.而要证AD∥BC，自然会想到平行线的判定定理（内错角相等，两直线平行）.观察图7发现，∠ABA′=∠DCD′=60°，AB=CD.因此延长BC，构造直Rt△AA′B和Rt△DCD′，问题可以得到解决.
解法4：如图7，连接AD，过点A作AA′⊥BC，交CB的延长线于点A′，过点D作DD′⊥BC，交BC的延长线于点D′.由∠AA′B=∠DD′C=90°，可得AA′∥DD′.又∠ABA′=∠DCD′=60°，AB=CD，所以△AA′B≌△DD′C，从而AA′=DD′.
根据平行四边形的判定定理可得ADD′A′为平行四边形，则AD∥BC.继而得到∠BAD=∠CDA=60°，从而∠EAD=∠EDA，则AE=DE.
解法5：如图8，两边延长线段BC，过点A作AA′⊥A′C于点A′，过点D作DD′⊥BD′于点D′.分别延长A′A，D′D，过点E作A′D′的平行线，分别交A′A，D′D的延长线于点于A″，D″.
根据题目中的已知条件可得到A″A′⊥A′D′，D′D″⊥A′D′，即∠A′=∠D′=90°且A′A″∥D′D″，又A′D′∥A″D″，从而四边形A′A″D″D′为矩形，进而A″A′=D″D′，∠A″=∠D″=90°.
易知AA′=DD′，从而A″A=D″D.又∠A″AE=∠D″DE=60°，根据全等三角形判定定理（ASA），可得Rt△EA″A≌Rt△ED″D，从而AE=DE.
解法4和解法5实质上是在原有五边形的基础上对图形进行补形，构造了特殊的图形——矩形.因此自然想到是否还有其他的补形方法？
思路5：关注特殊角进行补形.根据解法4利用∠ABC和∠DCB的外角等于60°这个特殊角，将BC边向两边延长，使五边形补形为△EMN.
解法6：如图9所示，延长EA，ED分别交直线BC于点M，N.
结合题目中的已知条件，可得∠ABM=∠DCN=60°，则∠M=∠N=30°.
根据同一三角形中等角对等边，可得EM=EN.
根据全等三角形的判定定理（AAS），可以得到△AMB≌△DNC，从而AM=DN.
由等量减等量其差相等，得到AE=DE.
将五边形补形构造成等腰三角形，解题步骤简单明了，极大地提高了解题速度.进一步思考，∠ABC和∠DCB的外角都有两个，是否可以利用另一个外角来构造图形呢？
解法7：如图10，延长AB，DC交于点P，连接EP.
显然△PBC是等边三角形，从而可得BP+AB=CP+CD，即AP=DP.
根据直角三角形全等的判定定理（HL），可得Rt△EAP≌Rt△EDP，所以AE=DE.
3 思考
“一题多解”是从不同角度分析问题，根据所给信息，应用已有的数学知识、经验，通过观察、推测和想象，沿着不同方向思考、重组已有信息，获得多种解法的过程，对培养学生的思维有显著效果[3].上述探求七种解法的过程中，以“问题”为导引，层层推进，克服思维定势，逐渐由分割过渡到补形，掌握化归思想的实质，从而实现从“一题多种解法”到“多解归为一法”的转化，提高发现、提出、分析和解决问题的能力.
进一步反思上述七种解法，以解法6和7为最优解法，但学生不易想到，主要原因是学生没有补形的意识，以及缺少必要的思维训练，导致思维固化在图形分割，尤其倾向于分割为三角形.而初中数学教学中相关的训练素材并不少，如人教版初中数学八年级上册“探索多边形的内角和”这节课.纵观课堂教学发现：在探究多边形内角和时，多数教师引导学生把多边形分成若干个三角形，强调分割成三角形的不同方法，而忽视了补形方法的渗透，导致学生丧失了克服思维定势和深刻认识化归思想的大好机会[4]，这也正是学生在解题过程中出现问题的结症所在.同时，随着近年来“一题一课”活动的兴起[5]，以题促教，从解法研究逐渐走向教学研究为我们思考课堂教学提供了新的视角.
参考文献：
[1]李萍，苏耀忠.侧重学科素养 体现开放探索——2015年山西省中考试题变化与特点分析[J].山西教育（管理），2015（9）：28-30.
[2]波利亚.怎样解题[M].涂泓，冯承天，译.上海：上海科技教育出版社，2007.
[3]程华.从“一题多解”审思解题教学的思维培养[J].数学通报，2020，59（8）：50-54.
[4]王燕荣，韩龙淑，屈俊.基于启发式教学的数学思想教学设计——以“化归思想”为例[J].教学与管理，2015（1）：57-59.
[5]张海营.解题研究：从“一题多解”到“多解归一”[J].中学数学教学参考，2021（30）：50-51.