柯西不等式与权方和不等式专题课件高三数学一轮复习

柯西不等式与权方和不等式专题课件高三数学一轮复习

柯西不等式是数学分析中的一个基本不等式，它在代数、几何、概率论等多个领域都有广泛的应用。本文将详细介绍柯西不等式的起源、证明方法及其在向量形式下的应用，并通过多个例题和跟踪训练来帮助读者理解相关概念。此外，本文还将介绍权方和不等式的相关内容。

柯西不等式

柯西不等式（Cauchy-Schwarz inequality），最初于1821年被柯西提出，故大多数时候被简称为“柯西不等式”。其积分形式在1859被布尼亚科夫斯基提出，其证明由施瓦兹于1888年给出。由于柯西不等式的积分形式在分析学中占有十分重要的地位，故历史上，该不等式又称为柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式。

柯西不等式的原始形式描述了离散形式的变量的大小关系：
$$(a^2+b^2)(c^2+d^2) \geq (ac+bd)^2 \quad (a,b,c,d \in \mathbb{R})$$
当且仅当 $ad=bc$ 时，等号成立。

证明

由均值不等式，可知原式得证。

二维形式的柯西不等式的变式

给定两个平面向量 $\alpha$ 和 $\beta$，由平面向量的数量积运算规则可知：
$$|\alpha \cdot \beta| \leq |\alpha||\beta|$$
当且仅当两向量共线时，即存在实数 $k$，使 $\alpha = k\beta$ 时，上式取等号。

例题

例1
已知 $x,y \in \mathbb{R}$，$3x^2+2y^2 \leq 6$，求 $2x+y$ 的最值。

例2
证明：设 $\alpha = (1,-2)$，$\beta = (x,y)$，若 $x^2+y^2=16$，则 $\alpha \cdot \beta$ 的最大值为________。

跟踪训练1
设 $\alpha = (1,-2)$，$\beta = (x,y)$，若 $x^2+y^2=16$，则 $\alpha \cdot \beta$ 的最大值为________。

解：
由于 $\alpha = (1,-2)$，$\beta = (x,y)$，所以 $\alpha \cdot \beta = x-2y$。
由柯西不等式的向量形式可得：
$$(1^2+(-2)^2)(x^2+y^2) \geq (x-2y)^2$$
即 $5 \times 16 \geq (x-2y)^2$，当且仅当 $\beta = k\alpha$ 时，上式取等号。

权方和不等式

例1
(1) 若 $x>0$，$y>0$，且 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2$，则 $6x+5y$ 的最小值为__________。

跟踪训练
已知正数 $x$，$y$，且 $x+y=1$，求 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ 的最小值。