洛伦兹微分方程与混沌理论
洛伦兹微分方程与混沌理论
混沌理论是20世纪最重要的科学发现之一，它揭示了看似随机的复杂系统背后隐藏的秩序。从天气预报到股票市场，从生态学到神经科学，混沌理论的应用无处不在。本文将带你走进混沌理论的核心概念，特别是洛伦兹微分方程及其著名的"蝴蝶效应"。
基本概念
混沌理论涉及许多抽象但重要的概念，以下是其中一些关键术语的解释：
混沌（Chaos）：
- 表征一个动力系统的特性，在该系统中大多数轨道显示敏感依赖性；即完全混沌。
- 有限混沌：表征一个动力系统的特性，在该系统中某些特殊的轨道是非周期的，但大多数轨道是周期的或准周期的。
蝴蝶效应（Butterfly effect）：一个动力系统状态的一个微小改变所引起的后续状态与没有微小改变时的后续状态明显不同的现象；即敏感依赖性。
动力系统（Dynamical system）：一个确定性系统。更随意些说，它也可以是一个带有较小随机性的系统，如果该系统的随机性稍加消除后，其定性行为无明显变化的话。
相空间（Phase space）：一个假想的空间，它的维数与规定一给定动力系统的状态所需的变量数目相同。在相空间中一个点的坐标乃是这些变量的一组同时的值。
耗散系统（Dissipative system）：这样一种动力系统，在该系统中相空间的有限体积的任何点集的映像都是更小体积的点集。
极限集（Limit set）：被一个轨道所趋近并且其中不包含该轨道所趋近的更小集合的集合。通俗地讲，即由轨道一再非常接近地通过的每一点所组成的集合。
吸引集（Attracting set）：在一个耗散系统中，由所有轨道的极限集以及从该集出发的轨道上的所有的点所组成的集合。
吸引子（Attractor）：在一个耗散系统中，不属于任何更大极限集且无轨道由其发出的极限集。
吸引域（Basin of attraction）：位于趋近于一给定吸引子的轨道上的所有点所组成的集合。
随机系统（Random system）：
- 这样一种系统，在该系统中，从前面状态到后来状态的演化不是完全由任何规律决定的；即是非确定的系统。
- 这样一种系统，在该系统中，后来状态的发生完全独立于前面的状态；即完全随机的系统。
还有一些概念如平衡态、不动点、哈密顿系统、李雅普诺夫指数等，其中李雅普诺夫指数在常微分教材中提到，表示相空间相邻轨迹的平均指数发散率的数值特征，是用于识别混沌运动若干数值的特征之一。
洛伦兹系统
洛伦兹系统是一个大气对流简化模型，包含3个微分方程。洛伦兹在1963年证明了这个系统中存在混沌（洛伦兹认为由三变量非线性耦合微分方程描述的系统都能产生混沌）。变量x、y、z分别表示循环流体的流速、上升和下降流体的温差和垂直温度剖面的畸变。其微分形式如下：
$$
\begin{aligned}
&\dot{x}=\sigma(y-x)\
&\dot{y}=x(\rho-z)-y\
&\dot{z}=xy-\beta z
\end{aligned}
$$
其中x、y、z都是时间t的函数，$\dot{x}$、$\dot{y}$、$\dot{z}$都是t的导数，其中$\sigma=10$，$\rho=28$，$\beta=8/3$时称为标准或者经典洛伦兹系统。
通过MATLAB中的ode45自适应步长函数求解洛伦兹系统，得到100组初始值的数值解，其轨迹如图所示：
这个吸引域在所给的坐标范围内。
参考
- 《混沌的本质》电子版下载链接
- MATLAB混沌系统仿真：Lorenz系统和Rossler系统