边长为1的正方形：面积计算的基石

边长为1的正方形：面积计算的基石

引用

腾讯

1.

https://new.qq.com/rain/a/20250320A06RS000

在数学的世界里，面积的计算是一个基础且重要的概念。从最简单的正方形面积出发，我们可以逐步理解更复杂图形的面积计算方法。本文将带你探索面积计算的底层逻辑，从基础的几何图形到微积分的应用，揭示数学思维的美妙之处。

01 回忆

让我们从课本中第一个接触的面积公式开始：矩形（长方形）的面积公式 s=ab，其中 a 和 b 分别是矩形的长和宽。

课本引导我们通过以下步骤理解这个公式：

• 将矩形分割成边长为1厘米的小正方形；
• 计算矩形中包含多少个这样的小正方形；
• 矩形的面积就是这些小正方形的数量。

这个方法同样适用于正方形面积的计算，只是在这里 a=b。

对于平行四边形的面积，我们可以利用割补三角形的方法来求解。如下图所示，通过割补后，可以得到一个矩形，其面积计算公式变为底乘高。而三角形的面积则是 ½ah。

通过同样的思路，我们可以理解梯形的面积公式【（上底+下底）x高÷2】。这是因为：

• 上底+下底等于平行四边形的边长
• x高表示平行四边形的高
• ÷2是因为梯形是平行四边形的一半

小学阶段学习的面积公式，基本上都是以矩形面积公式为基础，而矩形面积公式又源自边长为1厘米的正方形。

02 最初的最初

给小学生讲解面积时借用的小正方形，实际上来自于面积的定义：

• 面积表示一个平面图形或物体表面的大小。
• 在数学中，面积通常用平方单位来度量，例如平方米、平方厘米等。
• 在欧氏几何中，单位面积就是指一个边长为1的正方形的面积——这个单位可以是1米、1厘米或1毫米。

单位面积本就是指边长为1的小正方形，它是面积的衡量尺度。

对于不规则图形，我们也可以用正方形来衡量。通过无限切分的方法，我们可以将不规则图形的面积计算转化为小正方形的面积计算。这种思想也是微积分的基础。

03 后来的后来

在牛顿和莱布尼茨的时代，微积分的发明使得面积计算变得更加简便。微积分基本公式可以用来计算各种复杂的面积，即使是高中生也能掌握其基本应用。

例如，对于两个函数所围成的复杂图形，我们可以通过找出它们的原函数，然后代入微积分基本公式来计算面积。

总结：

• 小学期间的面积公式依赖于矩形；
• 矩形面积公式则是由单位正方形推导而来；
• 单位正方形还在逼近法中，用来衡量不规则图形的面积；
• 基于这个工具，又跳到了微积分基本公式。

数学思维并不高深，关键在于能否运用工具解决数学问题。数学里有许多小工具，而数学又是一类工具的统称。记住这些，下次你再去看数学概念的时候，会有许多新发现。