函数的极值与最值

函数的极值与最值

函数的极值与最值是高中数学的重要知识点，本文将从概念、求法及其应用三个方面进行详细讲解。

函数的极值

极值是一个函数的极大值或极小值。如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大，这函数在该点处的值就是一个极大值。如果它比邻域内其他各点处的函数值都大，它就是一个严格极大值。而该点就相应地称为一个极值点或严格极值点。

函数的最值

函数在定义域内，取得的最大值或者最小值，被称作函数的最值。注意：最值范围受定义域控制，例如

$$y={x}^{2}$$， 在$$x\in \left[-1,1\right]$$ 他的最小值为 $$0$$

$$y={x}^{2}$$， 在$$x\in \left[1,2\right]$$ 他的最小值为 $$1$$

函数的最值通常和极值相关。假设函数$$f\left(x\right)$$ 的定义域为$$\left[a,b\right]$$,有两个极值点为$$x_{1},x_{2}$$，那么函数的最值应该是在 $$f\left(a\right),f\left(b\right),f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)$$ 这四个值之中。因此，计算函数的两个端点和极值点，然后比较值的大小就可以得出最值。

极值的求法

关于函数极值/最值的严格定义与求法，超脱了高中数学的范畴，如果需要进一步了解，可以参考高等数学极值 的教程。

下面仅从几何图形上简单解释极值的求法。如下图，对于函数$$f\left(x\right)$$，其定义域$$x\in \left[a,b\right]$$，容易看到他的极值点出现切线等于零出的地方，因此，求出函数$$f\left(x\right)$$的一阶导数$$f^{\prime }\left(x\right)$$并令$$f^{\prime }\left(x\right)=0$$ 可以求得函数取极值的点，这个极值点叫做“驻点”，函数的极值和最值就在端点和驻点处取得。

例题

例1 求函数 $$f\left(x\right)=\left({x}^{2}-1\right)^{3}+1$$ 在$$x\in \left[-2,3\right]$$的极值.

解：

1)求$$f\left(x\right)$$得导数

$$f^{\prime }\left(x\right)=6x\left({x}^{2}-1\right)^{2}$$

2)令$$f^{\prime }\left(x\right)=0$$ 求驻点

令 $$f^{\prime }\left(x\right)=6x\left({x}^{2}-1\right)^{2}=0$$, 得驻点 $$x_{1}=-1,x_{2}=0,x_{3}=1$$

3)比较极值点

把$$x$$的取值范围的两个端点和极值点 ，即$$x=-2,3,-1,0,1$$ 代入函数，求值。

$$f\left(-2\right)=28$$

$$f\left(3\right)=513$$

$$f\left(-1\right)=f\left(1\right)=1$$ 由函数$$f\left(x\right)$$是偶函数，所以$$f\left(-x\right)=f\left(x\right)$$

$$f\left(0\right)=0$$

以上，比较函数值，容易知道函数$$f\left(x\right)$$ 在$$x=0$$取得最小值为0，在$$x=3$$取得最大值为513，如下图

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