高等数学：多元函数积分学详解

高等数学：多元函数积分学详解

引用

CSDN

1.

https://m.blog.csdn.net/Winkyyyyyy/article/details/143160735

二重积分

可以想象你有一块不规则的平面薄板，它在一个平面区域 $D$ 上。二重积分 $\iint_D f(x,y) ,dA$ 就是用来求这个薄板的质量（假设薄板的面密度函数是 $f(x,y)$）。

把区域 $D$ 划分成许多非常小的小方块 $\Delta A$（类似于把一块地划分成很多小格子），在每个小方块上，密度近似看成是一个常数 $f(x_i,y_i)$，然后把每个小方块的质量 $f(x_i,y_i)\Delta A$ 加起来，就是整个薄板的质量。

1. 直角坐标系

五步法（步骤）

1. 画出积分区域 $D$ 的图形
2. 根据图形选择坐标系
3. 根据切片法选择积分顺序
4. 确定两个积分元素的上下限
5. 列式计算

例题

求 $\iint_D xy ,dA$，其中 $D$ 是由两坐标轴及直线 $x+y=1$ 所围成的闭区域。

1. 画出积分区域 $D$ 的图形
2. 根据图形选择坐标系

• 直角坐标系：大多数情况
• 极坐标系：$D$ 的图形跟圆相关（如圆、扇形、圆环、椭圆）

3. 根据切片法选择积分顺序
   二重积分可以转化为两次定积分来计算，但是
   
   和
   
   先积谁是有顺序的。

   在直角坐标系下有两种情况：

• $X$ 型：垂直于 $y$ 轴切片，先积 $dx$ 再积 $dy$
• 积谁，就是把谁当变量，想象有一个垂直于 $y$ 轴的薄片在 $y$ 轴方向上运动。
• $Y$ 型：垂直于 $x$ 轴切片，先积 $dy$ 再积 $dx$
• 当薄片对应的两条分界线（$y=f_1(x)$ 和 $y=f_2(x)$）都不是分段函数时，可以用 $Y$ 型

4. 确定两个积分元素的上下限
   假如用 $X$ 型：
   
   ，
   $x$ 的范围是 $0$ 到 $1$，$y$ 的范围是 $0$ 到 $1-x$。

5. 列式计算
   先积右边的积分，再积左边的积分

2. 极坐标系

步骤

1. 画出积分区域的图形
2. 根据图形选择坐标系
3. 根据切片法选择积分顺序
4. 确定两个积分元素的上下限
5. 列式计算

例题1

计算二重积分

的值，其中 $D$ 是由 $r=\cos\theta$ 及 $r=\sin\theta$ 所围成的第一象限内的封闭区域。

1. 画出积分区域的图形
2. 根据图形选择坐标系
   
3. 根据切片法选择积分顺序
4. 确定两个积分元素的上下限
5. 列式计算

例题2

求二重积分 $\iint_D x^2+y^2 ,dA$，其中 $D$ 为圆形闭区域，由 $x^2+y^2\leq 1$ 围成的区域。

1. 画出积分区域的图形
2. 根据图形选择坐标系
3. 根据切片法选择积分顺序
4. 确定两个积分元素的上下限
   
5. 列式计算

3. 交换积分次序

核心思想

将 $X$ 型的二次积分重新写作 $Y$ 型或者将 $Y$ 型的二次积分重新写作 $X$ 型
的
型二次积分
的
型二次积分

步骤

1. 根据二次积分式子找函数
2. 画出积分区域 $D$ 的图形
3. 使用切片法重新确定上下限
4. 列式

3.1 直接考察

例题
交换积分次序：

1. 根据二次积分式子找函数
2. 画出积分区域 $D$ 的图形
3. 使用切片法重新确定上下限
   **
   
   **
4. 列式

3.2 交换后更好算

例题
请计算：
由于
，
的计算比
简单得多，所以交换积分次序。

1. 根据二次积分式子找函数
2. 画出积分区域 $D$ 的图形
3. 使用切片法重新确定上下限
   
4. 列式

4. 积分区域对称

4.1 D关于坐标轴对称

应用情况

1. 被积函数很复杂
2. 积分区域关于坐标轴对称

例题
请计算

,其中 $D$ 是由 $x^2+y^2\leq 1$ 组成的闭区域。

对于