三角形的五个"心"：垂心、外心、内心、重心和旁心

三角形的五个"心"：垂心、外心、内心、重心和旁心

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在几何学中，三角形的"五心"是一个非常有趣且重要的概念。它们分别是垂心、外心、内心、重心和旁心。这些"心"各自具有独特的性质和应用，下面将详细介绍。

垂心

当三角形三边的三条垂线都画出来时，你会发现它们相交于一点。这一点就叫：三角形的垂心。

• 定义：垂心是三角形三条边的高的交点。
• 位置：
• 锐角三角形的垂心在三角形之内；
• 直角三角形的垂心在直角的顶点上；
• 钝角三角形的垂心在三角形之外。
• 应用：在初中数学中，垂心最常出现在相似三角形的题目中。因为垂线把大三角形分割成了许多小的直角三角形，这些小三角形彼此相似。例如，下图中的△AOG相似于△COD，△AOH相似于△BOD，△BOG相似于△COH。

外心

外心是三角形三边上垂直平分线的交点。

• 定义：外心是三角形三边垂直平分线的交点。
• 位置：
• 锐角三角形的外心在三角形内部；
• 直角三角形的外心在斜边中点；
• 钝角三角形的外心在三角形外部。
• 性质：因为是垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离都相等。以外心为圆心，以到顶点的距离为半径，可以画出三角形的外接圆。

内心

内心是三角形内切圆的圆心。

• 定义：内心是三角形三个角的角平分线的交点。
• 位置：内心始终在三角形内，无论它是什么三角形。
• 性质：从内心往三角形的三边做垂线，以垂线为半径，O为圆心，可以画出三角形的内切圆。很容易从得到的小三角形中找到全等关系，利用全等关系，可以做许多计算。

重心

重心是三角形三条中线的交点。

• 定义：重心是三角形三条中线的交点。
• 位置：重心始终在三角形之内，无论它是什么三角形。
• 性质：
• 它把中线长度分为2：1的三段。
• 它的坐标是三角形三个端点坐标的算术平均数。
• 把三角形分成3对面积相等的小三角形。
• 如果三角形是质量均等的薄片，那么重心就是它质量的重心。

旁心

旁心是三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点，每个三角形有三个旁心。

• 定义：旁心是三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点。
• 应用：在中学几何中不常出现，但是在一些高难度的题目中，会有涉及。

欧拉线

对于任意一个三角形，它的外心、重心、垂心，依次位于一条线上。这条线就叫欧拉线。

• 性质：重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。

一个小小的三角形就能演化出这么多有趣的几何概念，足以证明几何学的魅力所在。这些知识点不仅在数学学习中非常重要，也在物理和其他领域有着广泛的应用。