中考数学四边形解题技巧与策略

中考数学四边形解题技巧与策略

四边形是中考数学中的重点内容，涉及的知识点繁多且相互关联。本文将系统地梳理四边形的相关概念、性质、判定方法以及解题技巧，帮助学生全面掌握这一知识点。

四边形的基本概念与分类

平面四边形的分类

在几何中，四边形的一般定义为：四条首尾相接的线段组成的图形叫做四边形。按照四条边是否共面，可以把四边形分为两类：

• 平面四边形：四条边在同一平面内的四边形。
• 空间四边形：四条边不在同一平面内的四边形。

初中数学中主要讨论平面四边形。平面四边形又可以进一步分为两类：

• 凸四边形：画出平面四边形的任意一条边所在直线时，如果整个四边形都在直线的同侧，则它是凸四边形。
• 凹四边形：否则它是凹四边形。

初中数学中讨论的四边形主要是凸四边形。

特殊四边形的定义与性质

平行四边形

• 定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
• 性质：
• 平行四边形的对边相等；
• 平行四边形的对角相等；
• 平行四边形的对角线互相平分。
• 判定：
  1. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
  2. 对角线互相平分的四边形是平行四边形；
  3. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
  4. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

矩形

• 定义：有一个角是直角的平行四边形。
• 性质：
• 矩形的四个角都是直角；
• 矩形的对角线平分且相等。
• 判定：
  1. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；
  2. 对角线相等的平行四边形是矩形；
  3. 有三个角是直角的四边形是矩形。

菱形

• 定义：邻边相等的平行四边形。
• 性质：
• 菱形的四条边都相等；
• 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
• 判定：
  1. 一组邻边相等的平行四边形是菱形；
  2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
  3. 四条边相等的四边形是菱形。

正方形

• 定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。
• 性质：
• 正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
• 正方形既是矩形，又是菱形。
• 判定：
  1. 邻边相等的矩形是正方形；
  2. 有一个角是直角的菱形是正方形。

梯形

• 定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
• 特殊梯形：
• 直角梯形：有一个角是直角的梯形；
• 等腰梯形：两腰相等的梯形。
• 性质：
• 等腰梯形同一底边上的两个角相等；
• 等腰梯形的两条对角线相等。
• 判定：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。

四边形的解题技巧

不规则图形面积的计算

对于不规则图形面积的计算问题，一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决。常用的基本方法有：

1. 直接求面积：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出组合图形面积。

   例1：求下图阴影部分的面积（单位：厘米）。

   解答：通过分析发现它就是一个底是2、高是4的三角形，其面积直接可求为：(平方厘米)

2. 相加、相减求面积：这种方法是将组合图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加或相减求出该图形的面积。

   例2：正方形甲的边长是5厘米，正方形乙的边长是4厘米，阴影部分的面积是多少？

   解答：

• 两个正方形的面积：5×5+4×4=41(平方厘米)
• 三个空白三角形的面积和：(5+4)×5÷2+4×4÷2+5×(5-4)÷2=33(平方厘米)
• 阴影部分的面积：41-33=8(平方厘米)

3. 等量代换求面积：一个图形可以用与它相等的另一个图形替换，如果甲乙大小相等，那么求出乙的大小，就知道甲的大小；两个图形同时增加或减少相同的面积，它们的差不变。

   例3：平行四边形ABCD的边BC长8厘米，直角三角形ECB的直角边EC长为6厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大8平方厘米，平行四边形ABCD的面积是多少？

   解答：

• 阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大8平方厘米，分别加上梯形FBCG,得出的平行四边形ABCD比三角形EBC的面积大8平方厘米。
• 平行四边形ABCD的面积:8×6÷2+8=32(平方厘米)

4. 借助辅助线求面积：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法求面积。

   例4：下图中，CA=AB=4厘米,三角形ABE比三角形CDE的面积大2平方厘米,CD的长是多少?

   解答:

• 结合已知条件看图，很难有思路，连接DA,就可以发现：三角形ABE比三角形CDE的面积大2平方厘米,分别加上三角形DAE得到的三角形ABD比三角形CDA的面积大2平方厘米。
• (4×4÷2-2)×2÷4=3(厘米)

四边形的性质与判定

通常，教科书中在给出一种图形的定义后，会继续讨论由这个定义能进一步推出哪些结论，即得出这种图形的一些性质。这些性质往往是经常用到的主要性质。这种图形很可能还有一些其他性质，教科书则未曾涉及。例如，平行四边形除具有教科书中所说的"对边平行且相等";"对角相等";"对角线互相平分";等主要性质之外，还有"对角线的平方和等于四条边的平方和";这个性质.它可以证明如下.

如图3，作ABCD的高线DE，CF.利用全等三角形可以证明AE=BF.

AC2=AF2 CF2=(AB BF)2 BC2-BF2=AB2 BC2 2AB

四边形的解题策略

易错点分析

1. 平行四边形的性质和判定：如何灵活、恰当地应用。三角形的稳定性与四边形不稳定性。
2. 平行四边形注意与三角形面积求法的区分：平行四边形与特殊平行四边形之间的转化关系。
3. 运用平行四边形是中心对称图形：过对称中心的直线把它分成面积相等的两部分。对角线将四边形分成面积相等的四部分。
4. 平行四边形中运用全等三角形和相似三角形的知识解题：突出转化思想的渗透。
5. 矩形、菱形、正方形的概念、性质、判定及它们之间的关系：主要考查边长、对角线长、面积等的计算。矩形与正方形的折叠。
6. 四边形中的翻折、平移、旋转、剪拼等动手操作性问题：掌握其中的不变与旋转一些性质。
7. 梯形问题的主要做辅助线的方法

实战应用

与特殊四边形(正多边形)有关的填空压轴题，题目展示涉及：折叠问题;旋转问题;三角形全等问题;平面展开﹣最短路径问题;动点问题的函数图象问题.知识点涉及：全等三角形的判定与性质;正方形的判定和性质;解直角三角形，勾股定理，正多边形性质;锐角三角函数.数学思想涉及：分类讨论;数形结合;方程思想.现选取部分省市的 题展示，以飨读者. 【题1】(.年河南省第题)如图矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为. 【考点】：翻折变换(折叠问题). 【分析】：连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P，先利用勾股定理求出MD′，再分两种情况利用勾股定理求出DE. 【解答】：解：如图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P，