线性代数：初等变换与初等矩阵
线性代数：初等变换与初等矩阵
在线性代数中，初等变换与初等矩阵是解决线性系统的关键工具。它们不仅能够简化复杂的矩阵运算，还为求解矩阵的逆提供了有效途径。本文将深入探讨初等变换的定义、性质以及如何利用初等矩阵求解矩阵的逆。
在求解线性系统的过程中，需要对线性系统的系数矩阵和结果矩阵构成的增广矩阵进行一系列的矩阵基本操作(①矩阵的一行乘以一个常数； ②矩阵的一行加(减)另一行；③交换矩阵的两行)来消元得到线性系统的解。因为矩阵可以表示变换，所以像矩阵基本操作这种一系列的变换也可以通过一个矩阵进行表示。即E ∗ A = A ′ E * A = A^{'}E∗A=A′，E EE是矩阵A AA的变换矩阵。
由于一个矩阵左乘单位矩阵I II，可以得到这个矩阵的本身，其实单位矩I II也代表一种变换。
如果要对一个矩阵进行基础变换(也叫做初等变换 \color{red} {\textbf{初等变换}}初等变换)
①矩阵的一行乘以一个常数； ②矩阵的一行加(减)另一行；③交换矩阵的两行
，可以通过改变单位矩阵I II来得到变换矩阵E EE，矩阵A AA通过左乘E EE的方式完成变换E ∗ A = A ′ E * A = A^{'}E∗A=A′
根据前面笔记提到的知识，矩阵与矩阵的乘法本质还是在进行列向量的变换，其中变换矩阵的每一行变换的是右乘矩阵的每一个列向量的对应行索引的元素【如变换矩阵T TT的第1行变换右侧矩阵每个列向量的第1行元素(或者所第一个元素)，变换矩阵T TT的第2行变换右侧矩阵每个列向量的第2行元素】，所以左乘的变换矩阵是对由列向量组成的右乘矩阵进行列向量的批处理。(如下图示意)
基于这个理解，所以如果我们要改变矩阵A AA的某一行，可通过修改左乘单位矩阵I II对应的行号的行来完成。
初等矩阵:是对单位矩阵进行一次初等变换得到结果矩阵，记作E EE； 初等矩阵本身是一种变换矩阵，对应于一种初等变换。
初等矩阵具有可逆性
对一个单位矩阵I II进行一次初等变换可以得到一个初等矩阵E 1 E_{1}E1 ，如果再对矩阵E 1 E_{1}E1 执行一边反向操作(左乘另一个初等矩阵E 2 E_{2}E2 )，那么矩阵E 1 E_{1}E1 就可以变回没有发生变换前的单位矩阵I II，即E 2 ⋅ E 1 = I E_{2} \cdot E_{1} = IE2 ⋅E1 =I，同理E 1 ⋅ E 2 = I E_{1} \cdot E_{2} = IE1 ⋅E2 =I，从而满足了矩阵的逆的定义。从E 1 E_{1}E1 的角度看E 2 E_{2}E2 是它的逆E 1 − 1 E_{1}^{-1}E1−1 ；从E 2 E_{2}E2 的角度看则E 1 E_{1}E1 是它的逆E 2 − 1 E_{2}^{-1}E2−1 ，所以有E 1 , E 2 E_{1},E_{2}E1 ,E2 互为逆矩阵。
通过初等矩阵求解一个矩阵的逆的方式
如果一个一般矩阵有逆的话，它的增广矩阵形式[ a b ∣ 1 0 c d ∣ 0 1 ] \begin{bmatrix} a&b&|&1&0 \ c&d&|&0&1 \end{bmatrix}[ac bd ∣∣ 10 01 ]一定有解或无解[1]。当有唯一解时，这个增广矩阵的系数矩阵将变成单位矩阵[ a b c d ] → [ 1 0 0 1 ] → I \begin{bmatrix} a&b \ c&d \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1&0 \ 0&1 \end{bmatrix} \to I[ac bd ]→[10 01 ]→I；据此我们可以理解，对一个有逆的一般矩阵（方阵）而言，通过一系列变换操作得到它的"行最简形式"一定是一个单位矩阵I II,也即E p ⋅ . . . ⋅ E 3 ⋅ E 2 ⋅ E 1 ⋅ A = r e f f ( A ) = I E_{p}\cdot ... \cdot E_{3} \cdot E_{2} \cdot E_{1} \cdot A = reff(A) = IEp ⋅...⋅E3 ⋅E2 ⋅E1 ⋅A=reff(A)=I
因此，如果一个矩阵A AA有逆，就会存在一系列初等矩阵E EE，使得：
E p ⋅ . . . ⋅ E 3 ⋅ E 2 ⋅ E 1 ⋅ A = I E_{p}\cdot ... \cdot E_{3} \cdot E_{2} \cdot E_{1} \cdot A = IEp ⋅...⋅E3 ⋅E2 ⋅E1 ⋅A=I
等式两边同时右乘A − 1 → E p ⋅ . . . ⋅ E 3 ⋅ E 2 ⋅ E 1 ⋅ A ⋅ A − 1 = I ⋅ A − 1 A^{-1} \to E_{p}\cdot ... \cdot E_{3} \cdot E_{2} \cdot E_{1} \cdot A \cdot A^{-1}= I \cdot A^{-1}A−1→Ep ⋅...⋅E3 ⋅E2 ⋅E1 ⋅A⋅A−1=I⋅A−1
得到E p ⋅ . . . ⋅ E 3 ⋅ E 2 ⋅ E 1 ⋅ I = A − 1 E_{p}\cdot ... \cdot E_{3} \cdot E_{2} \cdot E_{1} \cdot I = A^{-1}Ep ⋅...⋅E3 ⋅E2 ⋅E1 ⋅I=A−1;
该式意味着当一个矩阵A AA可逆，那么可以在I II的基础上，左乘一系列使矩阵A AA化为单位矩阵I II的初等矩阵来得到矩阵A AA的逆A − 1 A^{-1}A−1。