函数的可导性与连续性之间的关系
函数的可导性与连续性之间的关系
函数的可导性与连续性之间的关系
1. 包含绝对值的函数的极限
有时候你需要处理包含绝对值的函数。考虑这个极限：
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{-}}\frac{|x|}{x}
$$
为了回答这个问题，让我们设置 $f(x) = |x| / x$。首先，注意 $0$ 不能在 $f$ 的定义域中，因为分母会是 $0$。让我们看看当 $x$ 是正数时会发生什么。量 $|x|$ 然后就是 $x$，所以我们看到如果 $x$ 是任何正数，$f(x) = 1$。另一方面，如果 $x$ 是负数，那么 $|x| = -x$，所以如果 $x < 0$，$f(x) = -x / x = -1$。也就是说，写作 $f(x) = |x| / x$ 只是说如果 $x > 0$，$f(x) = 1$；如果 $x < 0$，$f(x) = -1$。
对于左极限，需要从左侧接近 $x = 0$：
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{-}}\frac{|x|}{x} = -1
$$
对于右极限，需要从右侧接近 $x = 0$：
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}}\frac{|x|}{x} = 1
$$
由于左极限和右极限不相等，双侧极限不存在：
$$
\lim_{x \rightarrow 0}\frac{|x|}{x} \text{DNE (does not exist)}
$$
观察绝对值，我们看到 $x + 2 \geq 0$ 或 $x + 2 < 0$ 时有所不同。这些条件可以重写为 $x \geq -2$ 或 $x < -2$。在第一种情况下，$|x + 2| = x + 2$，而在第二种情况下 $|x + 2| = -(x + 2)$。结果是量 $|x + 2| / (x + 2)$ 当 $x > -2$ 时等于 $1$；而当 $x < -2$ 时，量只是 $-1$。事实上，$y = |x + 2| / (x + 2)$ 的图像是 $y = |x| / x$ 的图像向左平移两个单位得到的。
$$
\lim_{x \rightarrow (-2)^{-}}\frac{|x + 2|}{x + 2}
$$
这意味着我们正在寻找的左极限等于 $-1$（而右极限是 $1$，双侧极限不存在）。
2. 何时导数不存在
$f(x) = |x|$ 的图像在原点处有一个尖点，在 $x = 0$ 处导数不存在。
$$
f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{|x + h| - |x|}{h}
$$
我们感兴趣的是当 $x = 0$ 时会发生什么，所以让我们用 $0$ 替换上述等式链中的 $x$。
$$
f'(0) = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{|0 + h| - |0|}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{|h|}{h}
$$
这意味着 $f'(0)$ 的值是未定义的：$0$ 不在 $f'$ 的定义域中。但是我们也看到，如果将上述极限从双侧极限改为单侧极限，那么极限存在。特别是，右极限是 $1$，左极限是 $-1$。这促使我们定义右导数和左导数：
$$
\lim_{h \rightarrow 0^{+}}\frac{f(x + h) - f(x)}{h} \ \text{and} \ \lim_{h \rightarrow 0^{-}}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}
$$
就像在极限的情况下一样，如果左导数和右导数都存在且相等，那么实际的导数存在且等于相同的东西。如果导数存在，那么左导数和右导数都存在且等于导数值。
无论如何，重点是如果 $f(x) = |x|$，在 $x = 0$ 处右导数是 $1$，左导数是 $-1$。
当从原点出发沿着该曲线向右移动时，它的斜率是 $1$（斜率始终为 $1$，即如果 $x > 0$，$f'(x) = 1$）。当从原点出发沿着该曲线向左移动时，它的斜率是 $-1$（如果 $x < 0$，$f'(x) = -1$）。由于左侧斜率不等于右侧斜率，所以在 $x = 0$ 处导数不存在。
所以，我们得到了一个在其定义域内不是处处可导的连续函数，除了一个小点外，它仍然是可导的。
存在不可导的连续函数。
3. 可导性和连续性
每一个可导函数也是连续的。
如果知道一个函数是可导的，那么函数的连续性就自动成立。
若函数 $y = f(x)$ 在 $x$ 可导，则函数在 $x$ 必连续。若函数 $y = f(x)$ 在 $x$ 连续，但函数在 $x$ 不一定可导。连续是可导的必要条件，但不是充分条件。
如果一个函数 $f$ 在 $x$ 可导，那么它在 $x$ 连续。
$\sin(x)$ 作为 $x$ 的函数是可导的，这将自动暗示它在 $x$ 处也是连续的。
要证明 $f$ 在 $x$ 上连续，需要证明：
$$
\lim_{u \rightarrow x}f(u) = f(x)
$$
这个方程只有当等号两边同时存在时才成立。
在这种情况下，$u = x + h$，并且当 $u \rightarrow x$ 时，$h \rightarrow 0$。
所以上述方程可以替换为：
$$
\lim_{h \rightarrow 0}f(x + h) = f(x)
$$
我们需要证明等号两边都存在且相等。
我们知道 $f$ 在 $x$ 可导；这意味着 $f'(x)$ 存在，所以根据 $f'$ 的定义，极限
$$
f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}
$$
存在。
首先注意到 $f(x)$ 包含在这个公式中，所以它必须存在，否则公式就无从谈起。
关键是先从另一个极限开始：
$$
\lim_{h \rightarrow 0}(f(x + h) - f(x)) = \lim_{h \rightarrow 0}(\frac{f(x + h) - f(x)}{h} \times h)
$$
我们可以通过将它分成两个因子来计算这个极限：
$$
\lim_{h \rightarrow 0}(\frac{f(x + h) - f(x)}{h} \times h) = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h} \times \lim_{h \rightarrow 0} h = f'(x) \times 0 = 0
$$
这完全可行，因为所有涉及的极限都存在。这就是需要 $f'(x)$ 存在的地方——否则它就不会起作用。
$$
\lim_{h \rightarrow 0}(f(x + h) - f(x)) = \lim_{h \rightarrow 0}(\frac{f(x + h) - f(x)}{h} \times h) = 0
$$
$f(x)$ 的值根本不依赖于极限，所以可以将它提出来：
$$
(\lim_{h \rightarrow 0}f(x + h)) - f(x) = 0
$$
现在只需要将 $f(x)$ 加到等号两边：
$$
\lim_{h \rightarrow 0}f(x + h) = f(x)
$$
特别地，左边的极限存在且等式成立。所以，我们证明了一个很好的结果：可导函数自动连续。但是记住，连续函数并不总是可导的！
等号左边的极限存在并且等式成立。可导函数必连续，连续函数并不总是可导的。