二重积分的概念与性质

创作时间:

作者:

@小白创作中心

二重积分的概念与性质

引用

来源

https://m.renrendoc.com/paper/380307927.html

二重积分的概念

引例1

设$f(x,y)$为定义在闭区域$D$上的非负连续函数。以曲面$z=f(x,y)$为顶，$D$为底的柱体称为曲顶柱体（见图9-1）。下面讨论如何计算曲顶柱体的体积。

分析：若函数$z=f(x,y)=常数$，则上述曲顶柱体变为平顶柱体，它的体积可用公式体积$=$底面积$\times$高来计算。现在曲顶柱体的高是变化的，故不能用上述公式来求体积。回忆一下，求曲边梯形面积的方法，这里可采用类似的方法来求曲顶柱体的体积，分为下列几个步骤：

分割：将$D$分成$n$个小闭区域$\Delta\sigma_1,\Delta\sigma_2,\ldots,\Delta\sigma_n$（小区域的面积也用这些符号表示），相应地把曲顶柱体分割成$n$个以$\Delta\sigma_i$为底的小曲顶柱体，每个小曲顶柱体的体积记为$\Delta V_i(i=1,2,\ldots,n)$，则曲顶柱体的体积
近似：设$\lambda_i$为小闭区域$\Delta\sigma_i$的直径（一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大值），当$\lambda_i$很小时，由于$f(x,y)$连续，$f(x,y)$在同一小闭区域内变化很小，因此可将小曲顶柱体近似看作小平顶柱体，于是可用平顶柱体的体积公式来计算。在每个$\Delta\sigma_i$中任取一点$(\xi_i,\eta_i)$，以$f(\xi_i,\eta_i)$为高而底为$\Delta\sigma_i$的小曲顶柱体（见图9-2）的体积为

求和：这个曲顶柱体体积
取极限：设$\lambda=\max{\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n}$，当$\lambda\to0$时取上述和的极限，所得的极限便为曲顶柱体的体积$V$，即

引例2

设有一平面薄片占有$xOy$面上的闭区域$D$，它的面密度为$D$上的连续函数$\rho(x,y)$，这里$\rho(x,y)>0$。计算该薄片的质量$M$。

分析：若函数$\rho(x,y)=常数$，则薄片的质量可用公式质量$=$面密度$\times$面积来计算。现在面密度$\rho(x,y)$是变化的，故不能用上述公式来求。这时仍可采用处理曲顶柱体体积的方法来求薄片的质量。分为下列几个步骤：

分割：将$D$分成$n$个小闭区域$\Delta\sigma_1,\Delta\sigma_2,\ldots,\Delta\sigma_n$（小区域的面积也用这些符号表示），第$i$个小块的质量记为$\Delta M_i(i=1,2,\ldots,n)$，则平面薄片的质量
近似：设$\lambda_i$为小闭区域$\Delta\sigma_i$的直径，当$\lambda_i$很小时，由于$\rho(x,y)$连续，$\rho(x,y)$在同一小闭区域内变化很小，因此这些小块就可以近似地看作均匀分布的。在每个$\Delta\sigma_i$中任取一点$(\xi_i,\eta_i)$（见图9-3），则

求和：平面薄片的质量
取极限：设$\lambda=\max{\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n}$，当$\lambda\to0$时取上述和的极限，所得的极限便为平面薄片的质量$M$，即

上面两个实例的实际意义虽然不同，但解决问题的方法具有共性，最后都归结为同一形式的和的极限，把这种和式的极限抽象为二元函数在平面闭区域$D$上二重积分的定义。

定义

设$f(x,y)$是有界闭区域$D$上的有界函数。将闭区域$D$任意分成$n$个小闭区域
$\Delta\sigma_1,\Delta\sigma_2,\ldots,\Delta\sigma_n$，其中$\Delta\sigma_i$表示第$i$个小闭区域，也表示它的面积。在每个$\Delta\sigma_i$上任取一点$(\xi_i,\eta_i)$，作和

如果当各小闭区域的直径中的最大值$\lambda$趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数$f(x,y)$在闭区域$D$上的二重积分，记为

其中$f(x,y)$称为被积函数，$f(x,y)d\sigma$称为被积表达式，$d\sigma$称为面积元素，$x$与$y$称为积分变量，$D$称为积分区域，称为积分和。

函数$f(x,y)$在$D$上的二重积分存在时，称$f(x,y)$在$D$上可积。由二重积分定义知，若$f(x,y)$在有界闭区域$D$上可积，则对于任何分割，只要当$\lambda$趋于零，的极限存在。因此为了计算方便，常选一些特殊的分割方法，如在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分$D$，那么除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域。设矩形闭区域$\Delta\sigma_i$的边长为$\Delta x_k$和$\Delta y_j$，则$\Delta\sigma_i=\Delta x_k\Delta y_j$，因此在直角坐标系中，有时也把面积元素$d\sigma$记为$dxdy$，称$dxdy$为直角坐标系中的面积元素，故在直角坐标系中，

由二重积分的定义知，曲顶柱体的体积$V$是$f(x,y)$在底区域$D$上的二重积分

平面薄片的质量$M$是面密度$\rho x,y$在区域$D$上的二重积分

一般地，当$f(x,y)\geq0$时，表示以$D$为底，$z=f(x,y)$为顶的曲顶柱体的体积；当$f(x,y)\leq0$时，表示以$D$为底，$z=f(x,y)$为顶的曲顶柱体体积的负值；如果$f(x,y)$在$D$的某些部分上是正的，而在另外的部分上是负的，那么$f(x,y)$在$D$上的二重积分就等于这些部分区域上的曲顶柱体体积的代数和。这就是二重积分的几何意义。

当函数$f(x,y)$在闭区域$D$上连续时，$f(x,y)$在$D$上的二重积分必定存在，本章所讨论的被积函数都假定在积分区域$D$上连续。注意