【ACM数论】裴蜀定理的矩阵证明

【ACM数论】裴蜀定理的矩阵证明

引用

CSDN

1.

https://m.blog.csdn.net/m0_52114463/article/details/141287036

裴蜀定理（Bézout's lemma）是数论中的一个重要定理，它揭示了两个整数线性组合与它们最大公约数之间的关系。这个定理不仅在数论中有重要应用，还在密码学、计算机科学等领域发挥着重要作用。本文将通过矩阵方法给出一个简洁而巧妙的证明。

裴蜀定理

裴蜀定理，又称贝祖定理（Bézout’s lemma），是一个关于最大公约数的定理。其内容是：设a，b是不全为零的整数，则存在整数x，y，使得
$$ax + by = gcd(a, b)$$

那么如何证明这个定理呢？下面通过矩阵方法给出一个巧妙的证明。

证明过程

首先，将$gcd(a, b) = gcd(b, a \mod b)$写成矩阵的形式：

将右边这一矩阵继续按照这种方式展开：

通过矩阵的运算，我们惊奇地发现：这不就是裴蜀定理吗？换句话说，我们等价于证明了方程$ax + by = gcd(a, b)$必有特解。

这个证明方法利用了矩阵运算的性质，将辗转相除法的过程以矩阵形式展现，从而给出了裴蜀定理的一个新颖证明。