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高等数学-第七版-上册-第一章函数与极限——第一节映射与函数

创作时间:

作者:

@小白创作中心

高等数学-第七版-上册-第一章函数与极限——第一节映射与函数

引用

CSDN

https://blog.csdn.net/naozibuok/article/details/142691273

高等数学是现代科学和技术的基础，而函数与极限作为高等数学的重要组成部分，是研究变量之间依赖关系的基本工具。本章将系统地介绍映射、函数、极限和函数的连续性等基本概念，以及它们的一些性质。

第一章函数与极限——第一节映射与函数

章节前言

初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量。所谓函数关系就是变量之间的依赖关系，极限方法是研究变量的一种基本方法。本章将介绍映射、函数、极限和函数的连续性等基本概念以及它们的一些性质。

小节前言

映射是现代数学中的一个基本概念，而函数是微积分的研究对象，也是映射的一种。本节主要介绍映射、函数及有关概念，函数的性质与运算等。

一、映射

1. 映射概念

映射的定义

映射的三要素

像的唯一性与原像的不唯一性

也就是说，一个x对应一个y，而一个y可能有多个x与之对应。

例1

让我们用Python+Matplotlib创建一个交互界面来直观感受例1的几何意义：

Python+Matplotlib创建高等数学上册P2页例1交互动画

例1想要表达

例1重在表达：像的唯一性和原像的不唯一性。对于 f(x)=x^2，映射值是唯一的，但其对应的原像在某些情况下可能有多个。一个x对应一个y，而一个y可能有多个x与之对应。

例2

让我们用Python+Matplotlib创建一个交互界面来直观感受例2的几何意义：

Python+Matplotlib创建高等数学上册P2页例2交互动画

例2想要表达

结合映射三要素来说，例2的几何意义是从二维平面上的圆周（定义域）到一维直线段（值域）。每个(x,y)都有与之对应的(x,0)，就是把单位圆上的点全部投影到[-1,1]的区间上。

例3

Python+Matplotlib创建高等数学上册P2页例3交互动画

单射、满射、双射

单射：定义域X中每一个x，在值域Y中最多只有一个y与之对应，有可能y没有x与之对应。
满射：定义域X中每个x都对应值域Y中每个y，有可能一个多个x对应一个y。不要求X中的每个元素都必须对应到Y，但Y中的每个元素都必须被映射到。
双射：定义域X每个x与值域Y中每个y一一对应，不可能存在y没有x对应或者一个多个x对应一个y。

Python+Matplotlib展示单射、双射、满射

泛函、变换、函数的概念

泛函：从非空集合X到数集Y的映射又称为X上的泛函。
变换：从非空集合X到它自身的映射又称为X上的变换。
函数：从实数集(或其子集)X到实数集Y的映射通常称为定义在X上的函数。

Python+Matplotlib简单示例展示泛函、变换、函数

2. 逆映射与复合映射

也就是把定义域和值域呼唤，由一个x对应一个y 变为一个y对应一个x ，必须是一一对应的映射才能这样变换，所以说只有单射才存在逆映射。

构成复合映射的条件：其中一个映射的值域必须包含在另一个映射的定义域内。

例4

从直观上来观察，当满足【A映射的值域】包含在【B映射的定义域内】时，把【A映射的像】当作【B映射的原像】构成新的映射。

Python+Matplotlib——例4
Python+Matplotlib-高等数学上-P3-例4

二、函数

1. 函数的概念

函数的定义

小节前言提到：函数是映射的一种。

函数是从实数集到实数集的映射、构成函数的要素、判断函数是否相同

例5

例6-绝对值函数

例7-符号函数

例8-函数y=[x]-取整函数

提及分段函数

例9

强调用几个式子来表示一个函数并无错误

2. 函数的几种特性

(1) 函数的有界性

对于上图的例如部分描述的可视化

Python+Matplotlib-高等数学上-P7-例如部分可视化

函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界

(2) 函数的单调性

(3) 函数的奇偶性

偶函数
定义：如果对于定义域内的任意 x，都有 f(-x) = f(x)，则称 f(x) 为偶函数。
特点：偶函数的图像关于 y 轴对称。
奇函数
定义：如果对于定义域内的任意 x，都有 f(-x) = -f(x)，则称 f(x) 为奇函数。
特点：奇函数的图像关于原点对称。

奇偶函数简单示例可视化

Python+Matplotlib奇偶函数简单示例可视化

存在奇函数、偶函数、非奇非偶函数。

y=sinx、y=cosx、y=sinx+cosx可视化

Python+Matplotlib创建y=sinx、y=cosx、y=sinx+cosx可视化

(4) 函数的周期性

在函数的定义域内存在一个正数l，对于任意在定义域中的x，使得f(x±l)=f(x)。这个函数称作周期函数，l是函数的周期(最小正周期)。

例10-狄利克雷函数

3. 反函数与复合函数

1. 反函数

反函数是一个重要的数学概念，它描述了如何"撤销"一个函数的操作。

反函数的定义

对于函数 f: X → Y，如果存在函数 g: Y → X，使得对所有 x ∈ X 和 y ∈ Y，有： f(x) = y 当且仅当 g(y) = x 那么，我们称 g 为 f 的反函数，通常记作 f^(-1)。

反函数的特性

a) 存在性条件：函数必须是双射（既是单射又是满射）才有反函数。
b) 定义域和值域：反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域。
c) 复合性质：f[f^(-1)(x)] = x 和 f^(-1)[f(x)] = x。
d) 图像特征：反函数的图像是原函数图像关于 y = x 直线对称的。

2. 复合函数

复合函数是通过将一个函数的输出作为另一个函数的输入而形成的新函数。

复合函数的定义

给定函数 f: X → Y 和 g: Y → Z，它们的复合函数 g[f(x)]: X → Z 定义为： g[f(x)] = g(f(x))。

复合函数的特性

a) 运算顺序：从右到左，先计算 f(x)，再将结果代入 g。
b) 定义域：复合函数的定义域是 f 的定义域中使得 f(x) 在 g 的定义域内的所有 x 值。
c) 结合律：h[g[f(x)]] = h[g[f(x)]]
d) 不满足交换律：一般情况下，g[f(x)] ≠ f[g(x)]

3. Python+Matplotlib可视化反函数和复合函数的简单示例

Python+Matplotlib可视化简单反函数和复合函数

4. 函数的运算

例11

5. 初等函数

初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合运算而成的函数。

初等函数示例可视化

习题1-1

1.

2.

判断函数是否相同

如果两个函数定义域相同、对应法则也相同，那么两个函数就是相同的。

y=lg10 x^2的图像

如何判断两个函数的对应法则是否相同？

对应法则的定义

函数的对应法则是描述函数如何将每个输入值 x 映射到输出值 f(x) 的规则。通俗地说，它是函数的“运作规则”，表明对每个输入 x 应该如何计算对应的输出 f(x)。

3.

4.

5.

6.

7.

8.

为什么平移不改变周期

为什么当自变量中有系数k时，周期变为基本周期的1/k

要使 cos(kx) = cos(kx + kT) 对所有 x 成立，根据 cos 的基本周期性质，kT 必须是 2π 的整数倍。即 kT = 2πn，其中 n 是整数。

为什么 sin^2 x 的周期是 sin x 周期的一半

sin²x 将所有负值变为正值，在 [0, π/2] 和 [π/2, π] 区间，sin²x 的图形是对称的，如下图：

9.

(6)中分母应该是1-y

浅浅理解求反函数的方法

因为反函数是把原函数的定义域和值域互换，体现在式子里就是x与y互换，但互换 x 和 y只是中间步骤。最终的反函数仍然需要用 x 表示 y，也就是 y=... 的形式。

步骤：注意先把原函数化为x=...的形式，再互换x与y，同时注意三角函数与反三角函数互相转化，对数与指数互相转化。

对数与指数互化规则(这与两边同取对数或指数无关，这里只是回顾一下，顺带回顾换底公式)

10.

11.

11题说明了什么？

11题说明了求复合函数的函数值时，我们可以将复合函数拆开，然后逐步求值。但是注意根据复合函数定义：给定函数 f: X → Y 和 g: Y → Z，它们的复合函数 g[f(x)]: X → Z 定义为： g[f(x)] = g(f(x))。所以我们要先将自变量值代入g得到的值再带入f，其特征是：g的值域是f的定义域的子集。