斯坦福大学教授Keith Devlin：何为正确的高等数学思维
斯坦福大学教授Keith Devlin：何为正确的高等数学思维
在AI时代，学习什么和如何学习变得尤为重要。本文将带你了解斯坦福大学教授Keith Devlin开设的数学思维网络公开课，探讨高中数学与大学数学的本质区别，以及如何培养正确的高等数学思维。
AI 时代学什么，怎么学 / 2024.12
怀疑一切和相信一切是两种同等方便的办法，因为两者都无须思考。
——亨利·庞加莱（1854—1912）
大家好，我是Keith Devlin。 欢迎来到数学思维的网络公开课。这门课的目的是帮助大家养成一种有用的思维能力，一种发展了3000多年的，非常强大的思维工具。今天我想做的是让你为这个课程做好准备，并且告诉你一些关于本课程的事情。
我这么做是因为对于你们大多数人，这将是一个看待数学十分不同的方式——除了最后两节课，本课程只有很少的数学内容，并且不会涉及新的数学过程。
不过如果你想从高中数学过渡到大学数学，数学思维则是必不可少的，学习数学思维的最快的方法是参与这样的课程。所以当我们结课时，你应该知道它（数学思维）是什么。
现在，我先做个比喻：如果我们将数学与汽车世界做类比，学数学就对应学开车。相比之下，大学数学的部分，相当于你将会学习车如何工作，如何保养和修理， 如果你学得足够多的话，你也将学会如何设计制造自己的汽车。
课程的唯一先决条件是完成或即将完成高中数学学习。这意味着，很多人都能参加本课程并有所收获。
数学思维的一个关键特征就是在打破惯性思维。与之相反，高中数学成功的关键是学会固定的思维模式。而如今跳出定势思维，是一项十分宝贵的能力，所以本课程对许多人来讲很有价值。不过我的主要学生是那些在高中最后一学年，或大学第一年并且想主修数学或数学专业的学生。
如果你是其中一员，那么你可能会发现从高中数学过渡到大学的纯粹抽象的数学 是个十分困难的过程。这其中也包括我与我认识的大多数数学家。并不是因为数学变得更难了，一旦你成功地过渡，我想你会认同大学数学在很多方面都比较容易。
问题的原因在于（高中与大学的）重点的变化。在高中时，重点主要是掌握步骤 以解决各种问题。这使得这门学科很像菜谱——充满了数学食谱，也就是定势思维。在大学，重点是学习从不同的方向思考问题，像一名数学家一样思考，打破思维定势。
不过也不是所有大学数学课程都如此，那些为科学与工程学学生设计的课程，与你在高中上过的课大抵相似。但是与大部分数学专业的数学课程不同，其中一些课程通常是为更高级的科学与工程学工作设计的。所以如果你是这些学科的学生，你也可能会发现自己要学不同类型的数学。
如果你在校数学学得好，你可能会很擅长识别不同的问题，并运用你所学的各种技巧。在大学你必须学习如何处理一个新问题，当然这个问题并不适用于你已掌握的所有模板。这个过程归结为学着如何以某种方式来考虑问题。
第一个关键步骤是学会停止寻找可套用的公式或者解题步骤。从教科书或者Youtube上寻找例题或者模板，并通过仅仅修改数字来解决新问题通常是行不通的（但有时也是可能的）。(当然)所有你在高中所学的都没有白费，但已经不足以 应付大学的许多数学课程。
如果不能通过套用模板或者公式或者解题步骤来解决问题，那该怎么做呢？ 答案是你可以用某种特定方式来思考问题本身，而非思考问题的形式（那可能正是你在高中学以致用的东西），你必须要看清楚问题真正的含义。
这听起来似乎很容易，但是大多数人会发现在刚开始时这非常困难，且令人沮丧。它不会这么容易就被获得，但你必须要努力去掌握它，你不得不以比你过去 慢得多的步调接受它。大多数的时候，你甚至都感觉不到你在进步。你的目标是理解问题，而不是解决问题。
你绝对应该试试所有的练习，它们可以帮助你的理解；你也应该与他人合作，因为只有极少数人可以独自完成思维转变。这个转变过程很关键，很多我们将要做的事情不是纠缠于答案的对错，而是要聚焦在学会思考一个问题。
最终我们会知道答案的对错。但是，通常会有很有很多不同的正确答案，或者不同的解答方式，甚至错误的答案。当你在学习如何以数学方式思考时，重要的是明白得到正确或者错误答案的方式以及原因，而发现你所做的事情的好坏的唯一方法是找其他人来检查你的尝试，并且评价的你的工作。
实现一个自动化的评判系统是不现实的。也许有一天，人工智能会先进到足以自动评判这样一门课程的答案（虽然我真心怀疑这个可能性），但是现在，你确实需要别人的反馈。
对于斯坦福的一门常规课程，教授和助教们会批改学生的作业并提供反馈。但对于像这样一个有着数千学生的网络公开课，这样做是不现实的。所以我们不得不采用的其他的办法。在我设计的这门课程中，学生可以在与其他人的合作和讨论中获益。
在数学中，得到正确答案是很重要，但是在一个大型网络公开课中，比如MOOC，一般我们没法保证总是如此。这里我要提一句数学家们非常熟悉一种方式，即只有当其他人检查了我们的工作，才能确定其是否正确，即使是非常著名的数学家们也是如此。当他们认为自己已经解决了某个问题，然后将他们的解决方案写成论文并送去出版社，也仅仅是为了让某个匿名的编辑来发现错误。
在数学中，确实存在着对与错 但是如何在两者间做出判断却是非常困难的。因此，即便是专业人士也必须接受他们永远不能确信自己的工作正确与否的事实。
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