数学基础之三角函数

数学基础之三角函数

角的概念

刚开始学习时角分为锐角（）、直角（）、钝角（）、平角（）、周角（）。

再后来接触到了任意角，范围更广了，任意角分为正角，负角和零角。

正角：一条射线绕其端点按照逆时针方向旋转形成的角。

负角：一条射线绕其端点按照顺时针方向旋转形成的角。

零角：一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角。

我们在坐标轴中来表示正角负角和零角，如下图：

蓝色的就是正角，从x的非负半轴开始逆时针旋转的，旋转前所在位置的边叫做始边，旋转到蓝色那条边的位置时，叫做终边，负角也是从x非负半轴开始，顺时针转，而零角就是x的非负半轴，没有做任何旋转。

再就是象限角，即角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，就叫做第几象限角，若是落在坐标轴上，就不叫象限角了，而是叫做坐标轴角或者轴线角。

在坐标轴中，四个象限位置如下：

然后就是终边相同的角，很好理解，就是字面的意思，只要终边重合就是终边相同的角，比如一个角逆时针转了60度，然后另一个角是逆时针转了300度，那它两就是重合的，就是终边相同角。

同理，比如一个角顺时针转了60度，然后又顺时针转了360度，最后又回来了，也是重合的，也可以叫做终边相同角。用集合可以表示为：

k是整数集，包括正整数和负整数，即代表可以顺时针转任意圈和逆时针转任意圈。

弧度制

弧度概念：半径为r的圆心角所对的弧长为l，则，这个就是弧度，或者叫rad。比如像我们常说的,通常弧度rad单位我们会省略，所以

由此我们可以推出来以下常用角的弧度：

弧长概念：根据弧度公式，可得弧长l为，其中取值范围为。

面积概念：半径为r的圆心角，弧长为l，则弧长围成的扇形面积公式是。其实和三角形很像，公式也很像，即二分之一底乘高。

三角函数

下面来回顾下三角函数，比如有如下一个直角三角形：

直接所对应的边叫做斜边，斜边是最长了一条边。然后就是对边和邻边，具体哪条是对边哪条是邻边，这个要根据角来定，比如图中的角，那对边就是它对面的那条边，邻边就是和它相邻的边。

确定了三条边后，就可以计算三角函数了，公式如下：

而三角函数也可以放到坐标轴中来理解，如下图，始边OM逆时针转到OP，然后以P点做垂直于x轴，形成90度角，以角来看，垂线就是对边，90度所对的就是斜边，始边那段就是邻边。

假设邻边是x，对边是y，斜边是r，如果有了x和y，那么r就可以求，根据勾股定理，即斜边的平方等于对边的平方与邻边的平方之和，也就是。

而三角函数公式为：

注意此时的P点坐标就是(x,y),那同理如果这个角转的大了，找不到直角参考了怎么办，比如下面这个图：

此时求三角函数也是方便的，我们不需要找九十度角，我们直接在终边上任取一点P，此时这个P坐标比如是(x,y)，那么xy有了，r也有了，带入上面的那个公式即可。

任意角的三角函数定义如下：

在平面直角坐标系中，对于任意角，在终边上任取一点P(x,y)，P到原点的距离，定义。

下面来看个简单的题巩固下上面记录的知识点，即求等于多少。

首先将弧度制化为角度制，即-225度，负是顺时针旋转225度，正好是到第二象限的角平分线位置，这里大家可以自己画个图，大概就是下面这个样子：

然后任意一个点P，这个P取多少呢，可以发现P做垂足到x负半轴，其实就是个等腰三角形，那如果等腰边都取1，斜边OP就是根2，P坐标就是(-1,1)，根据cos=x/r，所以最后结果为。

同时，同角三角函数有以下两个关系：

1、平方关系：。

2、商关系：。

诱导公式

三角函数中存在一个诱导公式，该公式核心一句话就是：积变偶不变，符号看象限。

用这句话需要分两步走：

第一步：将诱导公式中括号内的角写作的形式。k若为奇数，函数名变，k为偶数，函数名不变。

第二步：一旦使用诱导公式，把一律当作锐角对待。

下面我们来解释下上面这两步，首先括号中那种形式之所以是为起点，因为按坐标轴划分象限一共是360度，每个象限占。然后根据k的奇偶来判断函数名，规则如下：

奇：

sin变为cos。

cos变为sin。

tan变为1/tan。

偶：

sin还是sin。

cos还是cos。

tan还是tan。

最后就是角，统一按锐角算，即大于0度小于90度，这里当锐角看是为了确定象限然后确定符号，哪怕它是个钝角。

下面来举个例子加深理解，比如，首先将括号内化成指定的形式，即变成了，k是2为偶，所以函数不变还是sin，这就是奇变偶不变，然后我们看是180度，加个锐角就到了第三象限，而sin是y/r，r肯定是大于0的，y此时在第三象限是负的，所以sin是负的，这个就是符号看象限。所以最终结果就是：

最终结果一定是只剩一个角，不管原式子中是加还是减，因为诱导公式的目的就是把复杂的三角函数变为基本角度的三角函数。

看一个例题，比如求，我们可以先把大角换为小角，去掉3个360度，就是，用弧度来表示，并以诱导公式形式表示就是，此时利用诱导公式，函数不变，然后符号是正，所以就是，那最后结果就是。

三角函数性质

三角函数中常见角度的值参考如下表格：

在研究三角函数图像时，我们作图的时候，会取5个常用的点，即，对应的正好是坐标轴上的点，图像如下：

我们在讨论其性质时，一般常用的性质如下：

定义域：即x的取值范围，x可以无限扩展，所以它的取值范围是全体实数R，区间表示就是。

值域：即y的取值范围，从图像可以看到y最大取到1，最小取到-1，区别表示就是。

奇偶性：先回顾下定义，奇函数：如果对于所有x在函数的定义域内，都有f(-x)=-f(x),那么函数是奇函数。偶函数：如果对于所有x在函数的定义域内，都有f(-x)=f(x),那么函数是偶函数。可以发现sin其实是奇函数。

极值：就是在哪个位置y能达到最大值和最小值，根据图像，其实就是加减n个，比如，k属于Z，就是最大值1，如果是，k属于Z，就是最小值-1。

单调性：也就是增函数和减函数，简单理解，即上升为增函数，下降为减函数，比如区间，就是增函数。

同理，余弦函数图像如下：

我们来看下余弦的性质，定义域一样也是R，值域也一样-1到1，奇偶性按照定义，可以发现是偶函数。它的极值是从0开始，每隔180度，当为，k是Z，得最大值1，当为，k是Z，得最小值-1，单调性根据区间不同，单调也不同，这个就不具体看了。

同理，tan函数图像如下，tan是sin除以cos，所以当cos为0时，tan是没有对应的值的。

正切图像它的定义域此时就不是R了，因为它不能等于，此时是没意义的，同理，在此基础上的加减n倍的180度都是没有意义的，所以正切定义域是.

而值域是无限接近x等于的，但永远不等于，所以值域是全体实数R，此时是没有最值的。

单调性：正切函数从图像看，每一段都是递增函数，没有递减。

奇偶性：按照定义，正切函数是一个奇函数。