求导和微分的关系

求导和微分的关系

引用

新浪网

1.

https://m.edu.iask.sina.com.cn/jy/2smK4EwNVwr.html

微分是一种方法，就是取对象的微小变量或微元来处理数学问题，而导数是微元式的极限，所以数学上分别用符号⊿x和dx区分两者。导数的定义式很好的说明了两者的关系，例如df/dx=lim{⊿f/⊿x}=lim{(f(x+⊿x)-f(x))/⊿x} 表达式⊿f/⊿x，就是对函数f(x)在x处取微元⊿x和⊿f，来计算斜率，而当⊿x趋近于0时，⊿f/⊿x的极限就定义为导数。

微分应用

1. 法线与切线斜率

我们知道，曲线上一点的法线和那一点的切线互相垂直，微分可以求出切线的斜率，自然也可以求出法线的斜率。

假设函数y=f(x)的图象为曲线，且曲线上有一点(x1,y1)，那么根据切线斜率的求法，就可以得出该点切线的斜率m：m=dy/dx在(x1,y1)的值，所以该切线的方程式为：y-y1=m(x-x1)。由于法线与切线互相垂直，法线的斜率为-1/m且它的方程式为：y-y1=(-1/m)(x-x1)

2. 增函数与减函数

微分是一个鉴别函数（在指定定义域内）为增函数或减函数的有效方法。

鉴别方法：dy/dx与0进行比较，dy/dx大于0时，说明dx增加为正值时，dy增加为正值，所以函数为增函数；dy/dx小于0时，说明dx增加为正值时，dy增加为负值，所以函数为减函数。

3. 变化的速率

微分在日常生活中的应用，就是求出非线性变化中某一时间点特定指标的变化。

在t=3时，我们想知道此时水加入的速率，于是我们算出dV/dt=2/(t+1)^2，代入t=3后得出dV/dt=1/8。

本文原文来自新浪爱问教育频道