函数极值求法全解析：一阶导数、二阶导数等方法详解

函数极值求法全解析：一阶导数、二阶导数等方法详解

函数极值的求法是高等数学中的一个重要知识点，主要应用于优化问题和函数性质的研究。以下是几种常见的求函数极值的方法：

一阶导数求极值（第一充分条件）

设函数f(x)在点x0处的一个邻域内可导，且f'(x0)=0，或f'(x0)不存在，但f(x)在x=x0处连续。若f(x)在点x0的两侧邻近导数异号，则f(x0)是函数f(x)的极值。当导数符号由正变负时，f(x0)是极大值；由负变正时，f(x0)是极小值.若f(x)在点x0的两侧邻近导数不变号，则f(x0)不是极值。

二阶导数求极值（第二充分条件）

设函数f(x)在点x0处二阶可导，且f'(x0)=0,但f"(x )≠0,则当f"(x0)>0时，f(x)在x0处取极小值f(x0)；当f"(x0)<0时，f(x)在x0处取极大值f(x0)。

利用导数的极限性质求函数的极值

在某些情况下，函数的极值可能与导数的极限有关。例如，如果一个函数在某一点处的导数为无穷大，那么该点可能是函数的极值点。在这种情况下，我们需要使用导数的极限性质来求极值。

其他方法

除了上述方法外，还可以利用泰勒公式结合前述各法判别之，并求出极值；或者利用基本结论。这些方法在特定情况下可能会更有效。

函数的最大值和最小值求法

1. 配方法： 形如的函数，根据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值。
2. 判别式法： 形如的分式函数， 将其化成系数含有y的关于x的二次方程。由于， 所以≥0， 求出y的最值， 此种方法易产生增根， 因而要对取得最值时对应的x值是否有解检验。
3. 利用函数的单调性：首先明确函数的定义域和单调性， 再求最值。
4. 利用均值不等式：形如的函数， 注意正、定等的应用条件， 即： a， b均为正数， 是定值， a=b的等号是否成立。
5. 换元法：形如的函数， 令，反解出x， 代入上式， 得出关于t的函数， 注意t的定义域范围， 再求关于t的函数的最值。 还有三角换元法， 参数换元法。
6. 数形结合法：形如将式子左边看成一个函数， 右边看成一个函数， 在同一坐标系作出它们的图象， 观察其位置关系， 利用解析几何知识求最值。 求利用直线的斜率公式求形如的最值。