用高斯消元法解线性方程组 的MATLAB程序

用高斯消元法解线性方程组 的MATLAB程序

引用

搜狗百科

1.

https://wenwen.sogou.com/z/q703618120.htm

在线性代数中，线性方程组的求解是一个基本且重要的问题。MATLAB作为科学计算的重要工具，提供了多种方法来求解线性方程组。本文将介绍三种主要方法：左除法、求逆法和高斯消元法，并给出具体的MATLAB实现代码。

左除法和求逆法

问题描述

考虑如下线性方程组：

MATLAB实现

左除法

% MATLAB左除法(\)求解线性方程组
A = [1 2 3; -1 3 7; 9 0 3];
b = [1; 4; 7];
x = A\b;

求逆法

% MATLAB求逆法(inv)求解线性方程组
A = [1 2 3; -1 3 7; 9 0 3];
b = [1; 4; 7];
x = inv(A)*b;

高斯消元法

高斯消元法是一种系统地将线性方程组转化为上三角矩阵，然后通过回代求解的方法。以下是具体的MATLAB实现：

MATLAB代码

function [RA,RB,n,X]=gaus(A,b)
A=[1 2 3;
1 4 9;
1 8 27];
b=[1
2
3
];
B=[A b];
n=length(b);
RA=rank(A); %A的秩
RB=rank(B);	%B的秩
zhica=RB-RA;
if zhica>0
    disp('请注意：因为RA~=RB，所以此方程组无解.');
    return;
end
if RA==RB   	%方程有唯一解
    if RA==n
        disp('请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.')
        X=zeros(n,1);
        %生成上三角矩阵
        for p= 1:n-1
            for k=p+1:n
                m= B(k,p)/ B(p,p); 		%要将B(k,p)化为零的系数
                B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1);	%整行乘以这个系数，最
            end
        end
        b=B(1:n,n+1);
        A=B(1:n,1:n);
        %求解上三角矩阵
        X(n)=b(n)/A(n,n);
        for q=n-1:-1:1
            X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q);
        end
    else         %多解
        disp('请注意：因为RA=RB<n，所以此方程组有无穷多解.')
    end
end

高斯消去法的分析

高斯消去法包括两个过程：

1. 消去过程：将方程组系数矩阵a化为同解的上三角矩阵
2. 回代过程：按相反的顺序，从xn至x1逐个求解上三角方程组

MATLAB程序

function x=gauss(a,b)
%a表示方程组的系数矩阵，b表示方程组的值
%x表示最终的输出结果，即方程组的解
n=length(b); %计算方程组的维数
%下面的程序在不断的消去，直到变成a变成上三角矩阵未知
for k=1:n-1
    for i=k+1:n
        a(i,k)=a(i,k)/a(k,k);
        for j=k+1:n
            a(i,j)=a(i,j)-a(i,k)*a(k,j);
        end
        b(i)=b(i)-a(i,k)*b(k);
    end
end
%表示高斯消去法的回带过程
x=zeros(n,1);
x(n)=b(n)/a(n,n);
for k=n-1:-1:1
    s=b(k);
    for j=k+1:n
        s=s-a(k,j)*x(j);
    end
    x(k)=s/a(k,k);
end

实例验证

%调用编好的消去法函数
a=[1,2,3;2,2,3;-1,-3,10];
b=[0,3,2];
gauss(a,b)

通过以上三种方法，可以有效地使用MATLAB求解线性方程组。每种方法都有其特点和适用场景，读者可以根据具体需求选择合适的方法。