华里士公式的推导及其推广
华里士公式的推导及其推广
华里士公式是数学分析中一个重要的积分公式，主要用于计算正弦和余弦函数的幂次积分。本文将详细介绍华里士公式的推导过程及其推广形式，并通过图像直观地解释这些公式。
华里士公式的定义
华里士公式描述了正弦和余弦函数的幂次积分的计算方法。具体形式如下：
I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n{x} \mathrm{d}x = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^n{x} \mathrm{d}x = \begin{cases}
\frac{n-1}{n} \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{2}{3} & \text{当 } n \text{ 为奇数},\
\frac{n-1}{n} \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{1}{2} \frac{\pi}{2} & \text{当 } n \text{ 为偶数}
\end{cases}
基础公式的推导
我们以 (\sin^n{x}) 为例进行推导：
I_n &= -\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1}{x} \mathrm{d}{\cos{x}} \
&= -\left. \sin^{n-1}x\cdot\cos{x} \right|{0}^{\frac{\pi}{2}} + \int{0}^{\frac{\pi}{2}} (n - 1)\cdot\cos^2{x} \cdot \sin^{n-2}{x} \mathrm{d}{x} \
&= (n-1) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1-\sin^2{x}) \cdot \sin^{n-2}{x} \mathrm{d}x \
&= (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n
化简得到：
I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}
通过递推关系，可以求出通项公式，从而证明华里士公式成立。
华里士公式的推广
推广后的华里士公式可以计算更广泛的积分范围：
\int_{0}^{\frac{m}{2}{\pi}} \sin^n{x} \mathrm{d}x = \begin{cases}
m I_n & \text{当 } n \text{ 为偶数},\
I_n & \text{当 } n \text{ 为奇数且 } m=2k+1,\
2I_n & \text{当 } n \text{ 为奇数且 } m=4k+2,\
0 & \text{当 } n \text{ 为奇数且 } m=4k
\end{cases}
\int_{0}^{\frac{m}{2}{\pi}} \cos^n{x} \mathrm{d}x = \begin{cases}
m I_n & \text{当 } n \text{ 为偶数},\
I_n & \text{当 } n \text{ 为奇数且 } m=4k+1,\
-I_n & \text{当 } n \text{ 为奇数且 } m=4k+3,\
0 & \text{当 } n \text{ 为奇数且 } m=2k
\end{cases}
当 (m = 1) 时，推广公式退化为原华里士公式。
图像理解
观察 (f(x) = \sin^3{x}) 的图像（对应 (n) 为奇数的情况）：
可以看出，函数 (f(x)) 是以 (2\pi) 为周期的周期函数，且在 ([0, \frac{\pi}{2}]) 和 ([\frac{\pi}{2}, \pi]) 的部分与 x 轴围成的面积相等，在 ([0, \pi]) 和 ([\pi, 2\pi]) 的部分也各自与 x 轴围成的面积相等。
观察 (f(x) = \sin^4{x}) 的图像（对应 (n) 为偶数的情况）：
可以看出，函数 (f(x)) 是以 (\pi) 为周期的周期函数，且在 ([0, \frac{\pi}{2}]) 和 ([\frac{\pi}{2}, \pi]) 的部分与 x 轴围成的面积相等。
因此，无论 (m) 的值如何，积分值都是 ([0, \frac{\pi}{2}]) 区间积分值的 (m) 倍。
特殊情况
- 当 (m=2) 时：
\int_{0}^{\pi} \sin^n{x} \mathrm{d}x = 2I_n
\int_{0}^{\pi} \cos^n{x} \mathrm{d}x = \begin{cases}
2I_n & \text{当 } n \text{ 为偶数} \
0 & \text{当 } n \text{ 为奇数}
\end{cases}
- 当 (m=4) 时：
\int_{0}^{2\pi} \sin^n{x} \mathrm{d}x = \int_{0}^{2\pi} \cos^n{x} \mathrm{d}x = \begin{cases}
4I_n & \text{当 } n \text{ 为偶数} \
0 & \text{当 } n \text{ 为奇数}
\end{cases}