傅里叶光学：通信理论与光学的完美结合
傅里叶光学：通信理论与光学的完美结合
傅里叶光学是现代光学与通信理论相结合的产物，它将光学现象与信号处理技术相结合，为理解光的传播和成像提供了全新的视角。本文将带你深入了解傅里叶光学的基本概念、原理及其在成像系统中的应用。
定义
傅里叶光学可以看作是通信理论中傅里叶变换等一系列数学思想以及系统理论与光学（主要是衍射光学）相结合的产物。
信号接收与相机拍摄（成像）过程
- 信号（Signal）的接收过程，不考虑接收过程中接收器的空间位置变化，而接收的信号就是根据时间不同而变化的强度量，强度沿着时间变化的函数（Function）就是信号（Signal）。
- 相机拍摄的过程，不考虑接收过程中的时间变化（过程在很短的时间段完成），接收的信号就是根据空间位置不同而变化的强度量，强度沿着空间变化的函数（Function）也可以称为信号（Signal）。（即图像可以看做一个信号）
以上这两个过程存在的区别也不过是其信号的自变量和载体不同，这也预示了， 通信原理中很多成熟的方法和技术，是可以迁移在光学中加以应用的。
频谱
如果已知信号是几组正弦波的相加，那么只要知道不同正弦波的强度，以及正弦波各自的频率，这个信号就是完全已知的， 这个信号的不仅可以表示为强度沿时间的变化，也可以表示为各正弦波强度沿频率的变化，这就是频谱 。一个信号的频谱也是它本身，只不过表示方式不同。
傅里叶变换
由信号得到频谱的过程就是傅里叶变换
一个连续信号可以看做很多个不同频率不同振幅以及不同相位的正弦波的叠加，这个结论，也是做傅里叶变换的重要前提。因此做傅里叶变换的操作就是把各个正弦波分解出来，对于频谱上的一个峰，它的横坐标表示对应正弦波的频率，它的强度代表对应正弦波的振幅，而它可能是复数，它的相位对应正弦波的初位相，这个初位相是相对的量，而且会被限制在0到2π之间。
空间频率
现在绕回相机拍照的问题，同样假设在一维，如果我信号的横轴不再是时间，而是距离，对这个 强度随距离变化的函数 （信号），自然也同样可以进行傅里叶变换，它的频域的横坐标是什么？类比时间信号，频率的 坐标如几Hz，可以解释为单位的时间段走过多少个周期 ，在空间频谱上，它的 坐标就可以类比为单位的距离该正弦波成分走过多少个周期 ，其量纲就是距离的倒数，这个物理量我们称为 空间频率 。
对于二维图像也是同理，图像可以看做一个信号，自变量是位置（x,y）,因变量是各个位置对应的强度，它也可以看做很多个不同方向不同频率不同振幅不同初相位的二维正弦波的和。
高频部分代表细节、边缘和噪声
低频占据绝大多数能量，其中直流分量 (零频)能量占比最 大。
频率分布具有中心对称性。
如果把左图看做无数个不同方向的正弦波，那么 频谱上每一点就代表一个正弦波 ，空域看上去像充满平面的一个方向上的条纹。以 频谱中心为零频率 ， 零频点对应背景（0频率正弦波即为平面），越远离中心的点对应频率越高的正弦波（图像细节） ，每个点与中心连线的方向决定正弦波的方向
衍射的普遍存在
衍射是普遍存在的 。一般概念上衍射的条件是当障碍物或孔径的尺寸与波长相近或更小时，波在遇到这些障碍物或孔径时,改变其传播方式,发生明显的衍射现象。实际上，这里的条件是看到明显衍射现象的条件，而衍射是波的一种固有性质，任何波都具有衍射的能力，但明显程度不同。
一个任意小的激光光源在自由空间传播一段距离，在接收屏上得到的光斑一定是大于光源尺寸，因为光在自由空间传播也会发生衍射，这个 衍射过程会损失能量和信息 。当光照射到 样品 ，假设是透射式的样品，样品后的光的传播方式会发生变化，即衍射，这个变化与样品有关，这个有关很重要，它是成像的前提。
以单色，平面波，垂直照明为例，经过透射样品的光，将以怎样的形式向前传播？只说结论，两种学派，其一，光经过样品后，样品上的每一点，都变成了新的子波源（惠更斯-菲涅尔原理），发出权重因子受样品该点参数影响的球面子波，在观察平面上一点所接收到的光，实际上是从样品平面发出的所有球面子波在该点相干叠加的结果（基尔霍夫衍射理论）。
另一种学派的观点，光经过样品后，经过样品一点的平面波被分解为振幅与传播方向不同的很多列新的平面波，在观察平面上一点所接收到的光，实际上是从样品平面发出的所有平面波在该点相干叠加的结果（角谱衍射理论）。
事实上两种理论指向同一个结论。物平面坐标 x0,y0，观察平面坐标x,y ,假设样品的复振幅透过率设为U(x0,y0) ,样品上发出的点光传播到观察平面的变化符合h （点扩散函数，PSF），则观察平面上的光场复振幅 符合:
即观察平面上的光场复振幅是样品上每一点的复振幅调制的光经过传播后相干叠加的结果。
既然观察平面的光场与样品本身的分布是有函数关系的，那就存在一种可能，即通过采集光场，来得到待测样品的分布信息，也就说到了成像。
成像
成像这个词应当怎么理解？对于一个待成像物体x，光照在x上反射或者透射，原本的光的传播就受到了x的调制，随后再传播在一个接受器上。假设没有受到x调制的光是一张白纸，就是1，那么调制后的光就是1乘x，也就是x。而传播过程，不论是自由空间传播，还是在什么介质中传播，不论是否透过透镜等器件，我都将之称为一个函数F,那么我在接收端接收到的沿着空间方向上的分布就是F（x），严格来说这里应当取模，因为光的传播实际上是以复振幅形式，但是 一切采集设备的直接采集都只能采集到强度 。假设x是一个分布，采集的F（x）是另一个分布，那么所谓的成像过程就是采集F（x），并再此基础上解出x的分布或与x有线性关系的分布的过程。举一个便于理解的例子，给人拍照，也就是成像，最终的照片要像这个人，照片出来比人黑一些或者白一些程度不大时很难看出来，但是一定要像这个人。
如果直接用一个图像采集器，如CCD，采集通过样品后的自由空间传播的光波，得到样品的清晰成像（即无透镜成像）？恐怕不行（计算成像可能可以实现），这么说，按照前面说的衍射理论，经过样品的光波会被分解为平面波或者球面子波，随着传播距离的增加，衍射愈演愈烈，观察平面直接接受的图像只会变的更加失焦、模糊，当然也存在例外情况，针对于样品特殊的情况（泰伯效应）。
成像系统也就是用于成像的系统，它应当包含哪些成分？除了光源，采集器，目标样品之外，还应当有相应的方法来得到待测样品的分布，可以是在采集后以计算的方法，也可以是在采集的过程中利用透镜或透镜组来使采集的结果直接为聚焦的结果， 即令上文的F(x)=x，当然因为相差的存在只能近似相等 ，当然两种方式也可以兼而有之。
从信息的角度说，被分解为平面波或者球面子波的每一个成分，都携带了样品的信息，或者说信号，它不见得与样品分布相同，但一定呈现某种函数关系可以还原为原来的信息。假设样品平面只有n个点，每一个点子波看做一个方程，假设观察平面完整得到了所有的n个方程，那么n个方程n个未知数，就存在可能求解所有的未知数，且是唯一的解。但是一个很现实的问题来了，任何一个系统都没有足够大的口径来收束所有的衍射波，也就是说方程数一定小于未知数个数，唯一解是不可能的，得到的只能是一个解的空间，表现出来的就是成像的结果必定与样品实际分布有出入，这种非理想系统称为衍射受限系统。
这里下面的公式，不论多么复杂的系统，采集面的复振幅分布与物面复振幅透过率事实上都可以写成这个形式，只是其中的点扩展函数有所不同，它取决于系统具体的构成。
前面介绍了傅里叶变换，但是在后面说系统的过程中，并没有再提到，但是事实上，讲的一切东西，从原理到技术，与傅里叶变换绝对相关。
回到衍射传播的问题，上面给出的积分公式，实际上是一个 卷积运算 ，等号右边可以写作样品复振幅分布与点扩散函数的卷积，这个式子计算起来非常困难，但是可以通过傅里叶变换解决问题。直接抛出一个概念， 两个函数卷积的傅里叶变换等于他们各自傅里叶变换的乘积 ，这里傅里叶变换可以单纯理解为数学工具，当我要计算观察面光场，已知样品复振幅透过率已知点扩散函数，那么我就可以计算样品复振幅透过率的频谱，再计算点扩散函数的频谱（传递函数），相乘再进行逆傅里叶变换即可达成目的，其运算量相比计算卷积要小得多。实际应用中利用计算机模拟传播的方法，几乎绕不开傅里叶变换，我只列出其中三种方法的名字：单次傅里叶变换法，双次傅里叶变换法，三次傅里叶变换法，不言而喻。
说到光学系统，就逃不开一个基础的东西，透镜，透镜对于光场而言相当于一个 位相调制器 （因为透镜沿半径方向的厚度变化，使入射光波通过透镜不同厚度时，产生不同的相位延迟。光波的振幅高低反应的是光的强弱，相位则反应的是光程差距已经传播幅角），看做样品的话，光场通过透镜，也同样等同于光波复振幅乘以透镜的复振幅透过率，不过这个复振幅透过率的振幅看做1，相位是一个特定的分布。透镜在傅里叶光学中有一个神奇的应用，当 以单色平面波垂直照明透镜前焦面的样品时，在透镜后焦面上的分布，正比于样品复振幅分布的傅里叶变换 ，这一点非常重要。（此时的透镜也被称做傅里叶变换透镜）
举一个最经典的光学系统，也就是4f系统。
搭载样品信息的平面波在透镜后焦面上的分布正比于样品分布的傅里叶变换，在第二个透镜的后焦面上又逆傅里叶变换，还原为原样品的清晰的像。这个系统在成像中会非常频繁的用到。首先最直白的， 共焦双透镜的后焦面可以清晰成像 ；其次，当我 改变两个透镜焦距之比 ，这里要求系统依然共焦，那么在 后焦面上就会出现样品放大或者缩小但清晰的像 ，这也就是我们熟知的显微与望远系统最简单的形式。除此之外，由于在双透镜的共焦面上光场分布等于样品分布的傅里叶变换，因此能够在这个面上进行各种操作，放置各种调制或者滤波器，以实现很多功能。
总结
关于傅里叶光学的应用领域，本节介绍了成像，当然事实上不可能仅限于成像，经典的还如激光散斑的一些应用，干涉计量，还有傅里叶变换光谱学等等。
最后总结一下，傅里叶光学我认为可以看做一个工具，对于任意的系统，它能给出一些数学思想与物理原理进行解释和分析， 找出系统的扰动和响应的关系 ，或者说根据扰动和响应，来研究或者设计一个系统。它结合通信原理与光的衍射理论，相比传统的光学，它站在一个完全不同的角度来讨论问题，来分析一些现象，除了傅里叶光学外，还有统计光学，那又是另一种新的角度。