梯度下降算法详解：原理与三种主要变体
梯度下降算法详解：原理与三种主要变体
梯度下降算法是机器学习和深度学习中用于优化模型参数的核心算法。本文将详细介绍梯度下降算法的基本原理及其几种主要的变体形式，帮助读者深入理解这一重要算法。
梯度下降算法(Gradient Descent)
梯度下降算法是一种用于求解函数最小值的一阶优化算法。在机器学习和深度学习中，梯度下降算法被广泛用于模型训练，通过迭代的方式调整模型参数，以最小化损失函数。
梯度下降算法的基本思想是：在函数的梯度（或者说斜率）指向的方向上，函数值下降得最快。因此，如果我们想要找到函数的最小值，可以从函数的某个初始点出发，沿着梯度的反方向（因为我们要减小函数值）逐步迭代，最终达到函数的局部最小值点。
梯度下降算法的迭代公式通常表示为：
$$
x_{new} = x_{old} - \alpha \nabla f(x_{old})
$$
其中：
- $x_{old}$ 是当前迭代点的坐标。
- $\alpha$ 是学习率（步长），它决定了在梯度方向上每一步前进的距离。
- $\nabla f(x_{old})$ 是函数 $f(x)$ 在点 $x_{old}$ 的梯度，它是一个向量，指向函数增长最快的方向。
- $x_{new}$ 是下一个迭代点的坐标。
梯度下降算法几种变体
假设有一个损失函数 $J(\theta)$，其中 $\theta$ 是模型参数，我们的目标是通过调整 $\theta$ 来最小化损失函数。
批量梯度下降（Batch Gradient Descent）
批量梯度下降使用所有训练样本来计算梯度，然后更新参数。其更新规则可以表示为：
$$
\theta = \theta - \alpha \cdot \nabla J(\theta)
$$
其中，$\alpha$ 是学习率，$\nabla J(\theta)$ 是损失函数 $J(\theta)$ 关于参数 $\theta$ 的梯度。批量梯度下降的更新规则考虑了所有样本的梯度信息，因此可以保证每次更新的方向是最优的，但计算量较大。
随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent）
随机梯度下降每次只使用一个随机样本来计算梯度，并根据该梯度更新参数。其更新规则可以表示为：
$$
\theta = \theta - \alpha \cdot \nabla J(\theta; x^{(i)}, y^{(i)})
$$
其中，$(x^{(i)}, y^{(i)})$ 是随机选择的一个训练样本，$\nabla J(\theta; x^{(i)}, y^{(i)})$ 是损失函数 $J(\theta)$ 关于参数 $\theta$ 在样本 $(x^{(i)}, y^{(i)})$ 处的梯度。随机梯度下降每次更新只考虑一个样本，因此更新的方向可能不是最优的，但计算量较小。
小批量梯度下降（Mini-batch Gradient Descent）
小批量梯度下降是批量梯度下降和随机梯度下降的折中，每次更新使用一小部分（批量）样本来计算梯度，并根据平均梯度更新参数。其更新规则可以表示为：
$$
\theta = \theta - \alpha \cdot \frac{1}{|\mathcal{B}|} \sum_{(x^{(i)}, y^{(i)}) \in \mathcal{B}} \nabla J(\theta; x^{(i)}, y^{(i)})
$$
其中，$\mathcal{B}$ 是随机选择的小批量样本集合，$|\mathcal{B}|$ 是批量大小，$\nabla J(\theta; x^{(i)}, y^{(i)})$ 是损失函数 $J(\theta)$ 关于参数 $\theta$ 在批量样本 $(x^{(i)}, y^{(i)})$ 处的梯度。小批量梯度下降综合了批量梯度下降和随机梯度下降的优点，既可以保证一定的更新稳定性，又可以减少计算量。