微积分中的微分：变化的数学语言

微积分中的微分：变化的数学语言

微分是描述变化和运动的强大数学工具。它不仅在物理学中描述速度和加速度，在经济学中分析边际成本和收益，也在工程学中优化设计。本文将带你走进微分的世界，了解这个变化的数学语言。

微分的由来

在平面几何中，我们可以根据公式很轻松的计算出三角形、矩形、梯形等由直线围成的图像面积。

但是，如果需要计算一个由曲线，与直线和直线所围成的图形面积，如上图所示，这种图形称为曲边梯形。

我们可以尝试通过一些能轻松求出面积的图形来替代曲线图形。例如，用矩形面积来代替曲边梯形面积，这种方法叫作以直代曲。

以直代曲

当我们将其中的这个橙色的矩形单独拿出来分析，如下图所示，该矩形与函数有两个交点，过作一条割线。另外，矩形中轴线与函数交点为，过作一条函数的切线。

橙色的矩形

当无限小时，将趋近于，则割线就会无限与其切线重合。那么，当小到一定程度（三点重合），则割线会成为切线吗？

当然不会，从割线与切线的定义来说，割线有两个交点，而切线只有一个交点。本质上，三点是不会重合的，只是无限小。

这时，就需要一个微小变化量。

于是，数学家将定义为为的微分，将定义为为的微分（微分即微小的变化量）。并将定义为导数，也就是切线的斜率。

微分的定义

微分，函数变化的线性描述。在现代数学中，微分被定义为函数在某一点的局部变化的线性描述。

微分的数学定义

设函数在某个区间内有定义，及在此区间内，如果函数值增量：

可表示为：

其中，是不依赖于的常数，那么称函数在点处是可微的，而叫作函数在点相应于自变量增量的微分，记作，即：

通常令，所以微分又表示为。

上述定义中式子的解读：

-

，这其实就是曲线的表达式。

-

，这其实就是直线的表达式，也就是点的微分的表达式。

-

，该式可改写为，所以该式说的是曲线和微分相差。所以，微分定义其实说的就是：

微分与导数

对一元函数来说，可微与可导是完全等价的概念。可微的函数，其微分等于导数乘以自变量的微分。

换句话说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。于是函数的微分又可记作。

总结

微分是描述变化的数学语言。它告诉我们，即使是非常小的变化，也可以被测量和预测。

虽然，微分在机器学习中没有直接应用，但通过微分定义的导数在机器学习中却有广泛的应用，例如梯度下降、反向传播等。