加法定理の証明を分かりやすく解説！2点の距離と余弦定理で示す

加法定理の証明を分かりやすく解説！2点の距離と余弦定理で示す

「加法定理の証明が知りたい」
「どうして加法定理は成り立つの？」
今回は加法定理に関するこんな悩みを解決します。

三角関数のなかでも加法定理は重要な公式の1つです。見た目が複雑な形をしているので、「加法定理はどうしてそんな公式になるの？」そう思う方もいるかもしれません。本記事では加法定理の証明をまとめました。実はそこまで難しい証明ではないので、ぜひ最後までご覧ください。

加法定理の証明

加法定理を全て証明するには、
[\cos(α+β)=\cos α \cosβ-\sinα \sinβ]
をまず証明します。
(\cos(α+β))を証明するにはいくつか方法がありますが、今回は定番の2つを紹介します。

• 余弦定理を用いて証明
• 余弦定理を用いない証明

さっそく加法定理を証明していきましょう！

加法定理の証明：余弦定理を使う

まずは余弦定理を用いて加法定理を証明します。
点(P,Q)の座標を(P(\cos \alpha ,\sin \alpha),Q(\cos \beta ,\sin \beta))とします。

まずは余弦定理を用いて(PQ^{2})を表します。
点(P,Q)は単位円上の点なので、(OP=OQ=1)です。

\begin{eqnarray}
PQ^{2}&=&OP^{2}+OQ^{2}-2OP \cdot OQ \cos (\beta – \alpha)\
&=&1+1-2\cos(\beta – \alpha)\
&=&2-2 \cos(\alpha – \beta) \cdots ①
\end{eqnarray}

次に点(P)と点(Q)の2点間の距離をもとめて、

\begin{eqnarray}
PQ^{2}&=&(\cos \beta -\cos \alpha)^{2}+(\sin \beta -\sin \alpha)^{2}\
&=&2-2\cos \alpha \cos \beta – 2 \sin \alpha \sin \beta\
&=&2-2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) \cdots ②
\end{eqnarray}

①,②より、

[2-2 \cos(\alpha – \beta)=2-2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)]

ゆえに、

[2 \cos(\alpha – \beta)=2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)]

したがって、

[\cos(\alpha – \beta)=\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta]

加法定理の証明：余弦定理を使わない

次に余弦定理を使わないで証明をしていきます。

上の図において、(AP)間の距離を求めると

\begin{eqnarray}
AP^{2}&=&{\cos(\alpha + \beta)-1}^{2}+\sin^{2}(\alpha + \beta)\
&=&2-2\cos (\alpha + \beta)
\end{eqnarray}

次に、２点(P,A)を原点を中心に(- \alpha)だけ回転した位置にある点を、それぞれ(Q,R)とする。

(Q,R)の座標は
(Q(\cos \beta , \sin \beta),R(\cos \alpha ,- \sin \alpha))である。

(QR)間の距離を求めると、

\begin{eqnarray}
RQ^{2}&=&(\cos \beta – \cos \alpha)^{2}+(\sin \beta + \sin \alpha)^{2}\
&=&2-2(\cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta)
\end{eqnarray}

(\angle AOP =\angle ROQ)より、(AP^{2}=RQ^{2})なので

[2-2\cos (\alpha + \beta)=2-2(\cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta)]

ゆえに、

[2\cos (\alpha + \beta)=2(\cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta)]

したがって、

[\cos(\alpha + \beta)=\cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta]

その他の加法定理の証明

(\cos (\alpha + \beta))や(\cos (\alpha – \beta))の加法定理を示せば、その他の加法定理も証明できます。

\begin{eqnarray}
\cos (\alpha-\beta)&=&\cos {\alpha+(-\beta)} \
&=&\cos \alpha \cos (-\beta)-\sin \alpha \sin (-\beta)\
&=&\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta\
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\sin (\alpha+\beta)&=&\cos {90-(\alpha+\beta)}\
&=&\cos {(90-\alpha)-\beta} \
&=&\cos (90-\alpha) \cos \beta+\sin (90-\alpha) \sin \beta \
&=&\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\sin (\alpha-\beta)&=&\sin {\alpha+(-\beta)} \
&=&\sin \alpha \cos (-\beta)+\cos \alpha \sin (-\beta) \
&=&\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan (\alpha+\beta)&=&\frac{\sin (\alpha+\beta)}{\cos (\alpha+\beta)} \
\displaystyle &=&\frac{\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta }
\end{eqnarray}

分子, 分母を (\cos \alpha \cos \beta)で割って、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 　&=&\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan (\alpha-\beta)&=&\frac{\sin (\alpha-\beta)}{\cos (\alpha-\beta)} \
\displaystyle &=&\frac{\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta}
\end{eqnarray}

分子, 分母を(\cos \alpha \cos \beta )で割って、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 　&=&\frac{\tan \alpha-\tan \beta}{1+\tan \alpha \tan \beta}
\end{eqnarray}

これですべての加法定理を証明することができました。
まずは(\cos)の加法定理を示すことを覚えておきましょう。

加法定理の証明　まとめ

加法定理
\begin{eqnarray}
\sin(α+β)&=&\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta\
\sin(α-β)&=&\sin α \cosβ-\cosα \sinβ\
\cos(α+β)&=&\cos α \cosβ-\sinα \sinβ\
\cos(α-β)&=&\cos α \cos β+\sinα \sinβ\
\displaystyle \tan(α+β)&=&\frac{\tanα+\tanβ}{1-\tanα \tanβ}\
\displaystyle \tan(α-β)&=&\frac{\tanα-\tanβ}{1+\tanα \tanβ}
\end{eqnarray}

全ての公式を証明するために
[\cos(α+β)=\cos α \cosβ-\sinα \sinβ]

をまず証明する。
(P(\cos \alpha,\sin \alpha),Q(\cos \beta,\sin \beta))として
①(PQ^{2}=)余弦定理
②(PQ^{2}=)単位円上の2点間の距離

証明の方針
余弦定理＝単位円上の2点間の距離

今回は加法定理の証明だけに焦点をあてて解説しました。
加法定理の重要ポイントは別の記事にまとめたのでぜひご覧ください。