数学笔记27——极坐标下的面积
数学笔记27——极坐标下的面积
直角坐标是常用的坐标法，但是对于一些特别的问题，在直角坐标系下处理就显得有点笨拙了。这个时候，不妨试试极坐标。它可以使得问题变得出乎意料的简洁，也能让问题直观和清晰起来。
极坐标
什么是极坐标
概念来自百度百科：
在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内任何一点M，用r表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角度，r叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对 (r,θ)就叫点M的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。通常情况下，M的极径坐标单位为1（长度单位），极角坐标单位为rad（或°）。
简单地说，极坐标有两个主要部分：长度和方向。
极坐标仅仅是将直角坐标系的点换了一个表示法，仍未脱离原来的直角坐标系。很容易知道，如果M用x和y表示，那么：
$$
r = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)
$$
这就是直角坐标系转换为极坐标表示法的转换公式。此外：
$$
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta
$$
实际上距离和夹角都可能是负数，这种写法可以避免和正负号搅合在一起。
注：在极坐标中，x不再是y的函数，即x不再是变量，这在上篇文章的“新的思维模式”一节做过详细说明。
极坐标下的点、直线和圆
点
现在尝试将(x, y) = (1, -1)转换为极坐标表示法：
根据转换公式，可以得到三组答案：
$$
r = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}, \quad \theta = \tan^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4}
$$
因此，点(1, -1)的极坐标表示为$(\sqrt{2}, -\frac{\pi}{4})$。
直线
用极坐标表示直线y = 1。
y = rsinθ=1， r = 1/sinθ
这就是结果。这可以用下图表示：
图中每个向量长度都表示r，与x轴的夹角是θ，r = 1/sinθ呈扇形展开，因此也可以知道θ的取值范围是0 ≤ θ ≤ π
圆
在直角坐标系下，半径为a的圆是x2 + y2 = a2，转换为极坐标后：
$$
r^2 = a^2
$$
所以可以用r = a表示极坐标系下的圆，当r的取值范围是(-∞, +∞)时，表示极坐标系下的所有点。
r = 1
示例
用极坐标表示(x – a)2 + y2 = a2
圆心并不在原点。我们可以直接套用公式：
$$
r^2 - 2ar\cos\theta + a^2 = a^2
$$
也可以使用一个比较快的方法，先计算，后代入：
$$
r = 2a\cos\theta
$$
还剩下最后一点，θ的取值范围，少了这点，我们就无法对其进行积分。
当θ = 0时，r的一端在(2a, 0)点；点沿着圆逆时针转动，当θ= π/2时点在(0, 0)处，期间r扫过了上半圆：
同理，当-π/2 <=θ<=0时，r扫过了下半圆。因此，θ的取值范围是[-π/2, π/2]
极坐标下的面积
面积公式
如上图所示，在已知半径和夹角的情况下很容易求得扇形的面积。
如果是一个不规则曲线形成的面积呢？
A = ？
我们可以利用黎曼和的知识对其进行切分，形成一个个小扇形：
曲线内的任意扇形：
整个面积：
$$
A = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} r^2 d\theta
$$
这也是极坐标下的面积公式。
示例1
计算r = 2acosθ的面积。
这在上一节的示例中出现过，如果过退化为直角坐标系，很容易看出是一个圆，其面积是：
$$
A = \pi a^2
$$
这正是期待的结果。
示例2
r = sin2θ的面积
为了更直观地计算面积，首先要画图。
相面是θ在第一象限内的取值：
θ = 0， r = 0; θ = π/4， r = 1; θ = π/2， r = 0。
π/2是一个周期，四个象限的图形应当一致：
实际上这就是著名的四叶玫瑰函数，它的运动轨迹如下：
当π/2 ≤ θ ≤ π时，曲线向相反方向运动：
现在可以计算面积了。
$$
A = 4 \times \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(2\theta) d\theta = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(2\theta) d\theta
$$
使用倍角公式：
$$
\sin^2(2\theta) = \frac{1 - \cos(4\theta)}{2}
$$
代入上式：
$$
A = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos(4\theta)}{2} d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos(4\theta)) d\theta
$$
计算积分：
$$
A = \left[ \theta - \frac{1}{4} \sin(4\theta) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}
$$
因此，r = sin2θ的面积为$\frac{\pi}{2}$。