【数理统计】分位数

【数理统计】分位数

分位数是数理统计中一个重要的概念，用于描述数据分布的特征。本文将详细介绍上分位数和下分位数的定义及其在常用分布中的应用，帮助读者更好地理解这一统计学基础概念。

上分位数和下分位数的定义

设连续型随机变量(X)的分布函数为(F(x))，概率密度函数为(f(x))，则：

• 对于任意正数(\alpha(0<\alpha<1))，称满足条件
  [F(x_{\underline{\alpha}}) = \int_{-\infty}^{x_{\underline{\alpha}}} f(x)dx = \alpha ]
  的数为此分布的(\alpha)分位数或下(\alpha)分位数。
  理解下(\alpha)分位数：从(x_{\alpha})这个点把分布函数图像切成两个部分，左边部分面积占比(\alpha)，右边部分面积占比(1-\alpha)。（下图右图）

• 对于任意正数(\alpha(0<\alpha<1))，称满足条件
  [1-F(x_{\alpha}) = \int_{x_{\alpha}}^{+\infty} f(x)dx = \alpha ]
  的数为此分布的上(\alpha)分位数。
  理解上(\alpha)分位数：从(x_{\alpha})这个点把分布函数图像切成两个部分，左边部分面积占比(1-\alpha)，右边部分面积占比(\alpha)。（下图左图）

上分位数和下分位数的关系如下：

• (x_{\underline{\alpha}} = x_{1-\alpha})
• (x_{\alpha} = x_{\underline{1-\alpha}})

下分位数的直观理解

分位数是数理统计中用来描述数据分布的一种统计量，它将数据集分成若干个部分，使得每个部分包含相同数量的数据点。常见的分位数包括中位数（50%分位数）、四分位数（25%和75%分位数）等。

• 中位数（Median）：将数据分成两部分，中位数是数据中间的值，50%分位数。
• 四分位数（Quartiles）：
• 第一四分位数（Q1）：将数据下25%的点分开。
• 第二四分位数（Q2）：即中位数（50%分位数）。
• 第三四分位数（Q3）：将数据上25%的点分开。

假设有以下一组数据：

数据集：3, 7, 8, 12, 14, 18, 20

计算中位数：

• 排序后的数据为：3, 7, 8, 12, 14, 18, 20
• 中位数（Q2）是中间的值，即 12。

计算四分位数：

• 第一四分位数（Q1）：前半部分数据是 3, 7, 8，中位数是 7。
• 第三四分位数（Q3）：后半部分数据是 14, 18, 20，中位数是 18。

上分位数的直观理解

上分位数（Upper Quantile）：一个分位数(q)的上分位数是指使得有(1 - q)的数据点小于该分位数的值。

常见的上分位数：

• 上四分位数（Q1）：表示25%数据点大于该值，75%数据点小于该值。
• 上中位数：在中位数（Q2）中，50%的数据点大于该值。
• 上95%分位数（即95th Percentile）：表示有5%的数据点大于该值，95%的数据点小于该值。

假设我们有一组数据，表示某个考试的分数：

数据集：55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100

计算上分位数：

• 上四分位数（Q1）：Q1 = 65（25%的数据点大于65）。
• 上中位数（Q2）：Q2 = 75（50%的数据点大于75）。
• 上95%分位数：95th Percentile = 95（5%的数据点大于95）。

常用分布中的分位数

不同分布的符号简写：

• (b)：二项分布
• (p)：泊松分布
• (u)：标准正态分布
• (e)：指数分布
• (z)：正态分布（不一定是标准的）

正态分布

标准正态分布表
若(X \sim N(0,1))即服从标准正态分布，则分布函数记为(\Phi(x))。由标准正态分布的对称性可知：(\Phi(-x) = 1-\Phi(x))。显然，(P { x_1 < X < x_2 } = \Phi(x_2) - \Phi(x_1))。

• 对于上分位数(u_{\alpha})，有(\Phi(u_{\alpha}) = 1 - \alpha)
• 对于下分位数(u_{\alpha})，有(\Phi(u_{\alpha}) = \alpha)
• 上下分位数之间的关系有(u_{\alpha} = -u_{1-\alpha})（仅标准正态分布成立）

对于自由度为(n)的 t 分布也有类似的结论：(t_{\alpha}(n) = -t_{1-\alpha}(n))。当(n (n>45))足够大时，有：(t_{\alpha}(n) \approx u_{\alpha})

标准正态分布中常见的分位数：

• 0.25分位数（第一四分位数Q1）：约为 -0.6745，即(u_{0.25} = -u_{0.75} \approx -0.6745)
• 0.50分位数（中位数Q2）：为 0，即(u_{0.50} = 0)
• 0.75分位数（第三四分位数Q3）：约为 0.6745，即(u_{0.75} \approx 0.6745)

假设我们有一组服从正态分布(N(100, 15^2))的随机变量，即均值为100，标准差为15。我们可以计算这些变量的分位数。

• 25%分位数（Q1）：

• 使用标准正态分布的Q1值：约为 -0.6745。

• 实际分位数计算：Q1 = 100 + (-0.6745 × 15) ≈ 90.87。

• 50%分位数（Q2）：

• 使用标准正态分布的Q2值：为 0。

• 实际分位数计算：Q2 = 100 + (0 × 15) = 100。

• 75%分位数（Q3）：

• 使用标准正态分布的Q3值：约为 0.6745。

• 实际分位数计算：Q3 = 100 + (0.6745 × 15) ≈ 109.12。

卡方分布

若(\chi^2 \sim \chi^2(n))，则上分位数(\chi^2_{\alpha})是满足以下条件的值：
[P { \chi^2 > \chi^2_{\alpha}(n) } = \alpha ]

这意味着有(1-\alpha)的概率观测值会大于该上分位数值。

上分位数的应用：

• 假设检验：在卡方检验中，通常使用上分位数来决定拒绝域。例如，在检验两个分类变量的独立性时，可以使用卡方统计量与上分位数进行比较。
• 置信区间：在构建卡方分布的置信区间时，也会使用上分位数。

假设我们有一个卡方分布(\chi^2 \sim \chi^2(5))，即自由度(n = 5)，我们想找出上5%分位数（(\alpha=0.05)，即95%分位数）：

• 查卡方分布表，找到自由度为5时，与0.95对应的上分位数(\chi^2_{0.05})。
• 结果为大约 11.070。

这意味着在自由度为5的卡方分布中，有5%的概率观察到的值会大于11.070。类似的还有 F 分布中的上分位数，此处不再赘述。