正态分布、t分布、卡方分布、F分布的关系与差异
正态分布、t分布、卡方分布、F分布的关系与差异
在统计学中，正态分布、t分布、卡方分布和F分布是最基本也是最重要的四种分布。它们不仅在理论研究中占据核心地位，而且在实际应用中也发挥着重要作用。本文将详细介绍这四种分布的概念、性质及其相互关系。
1. 正态分布
下面是维基百科对正态分布的介绍：
正态分布（英语：normal distribution）又名高斯分布（英语：Gaussian distribution），是一个非常常见的连续概率分布。若随机变量 X服从一个位置参数为 ?、尺度参数为 σ 的正态分布，记为：
X ∼ N ( μ , σ ) X \sim N(\mu, \sigma)X∼N(μ,σ)
则其概率密度函数为
f ( x ) = 1 σ 2 π e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} },e^{- {{(x-\mu )^2 \over 2\sigma^2}}}f(x)=σ2π 1 e−2σ2(x−μ)2
正态分布的数学期望值或期望值 ? 等于位置参数，决定了分布的位置；其方差 σ2的开平方或标准差 σ 等于尺度参数，决定了分布的幅度。通常所说的标准正态分布是位置参数? =0，尺度参数 σ2= 1的正态分布。
下面是正态分布图(来自维基)：
2. t分布
2.1 概念
在概率论和统计学中，学生t-分布（Student’s t-distribution）可简称为t分布，用于根据小样本来估计呈正态分布且方差未知的总体的均值。如果总体方差已知（例如在样本数量足够多时），则应该用正态分布来估计总体均值。
假设 X是呈正态分布的独立的随机变量（随机变量的期望值是 ? ，方差是 σ2但未知）。 令：
X ‾ n = X 1 + ⋯ + X n n {\overline {X}}{n}= {\frac {X{1}+\cdots +X_{n}}{n}}Xn =