线性代数笔记：向量叉积的几何理解

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@小白创作中心

线性代数笔记：向量叉积的几何理解

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CSDN

https://blog.csdn.net/Cake_C/article/details/120259841

向量叉积是线性代数中的一个重要概念，它不仅在数学理论中占有重要地位，还在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。本文将从几何角度深入探讨向量叉积的概念、计算方法及其背后的几何意义。

叉积的一般概念

两个向量的叉积结果也是一个向量，记作 (\mathbf{v} \times \mathbf{w} = \mathbf{c})。其中，(\mathbf{c}) 的数值等于以 (\mathbf{v}) 和 (\mathbf{w}) 为相邻边的平行四边形的面积，方向上符合从 (\mathbf{v}) 到 (\mathbf{w}) 的右手定则。

叉积的计算方法可以通过行列式来实现。具体来说，将分别代表 x、y、z 轴单位向量的 (\mathbf{i})、(\mathbf{j})、(\mathbf{k}) 和 (\mathbf{v})、(\mathbf{w}) 的各个分量写成行列式的方式，求算之，则得到：

[
\mathbf{c} = (v_2w_3 - v_3w_2)\mathbf{i} + (v_3w_1 - v_1w_3)\mathbf{j} + (v_1w_2 - v_2w_1)\mathbf{k}
]

行列式的几何意义

要理解叉积的计算方法，首先需要了解行列式的几何意义。三维向量列出的行列式 (\det(\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c})) 实际上表示以 (\mathbf{a})、(\mathbf{b})、(\mathbf{c}) 为三条临边组成的平行六面体的体积。

这个知识点的原理可以通过线性变换来解释：三维空间基（(\mathbf{i})、(\mathbf{j})、(\mathbf{k})）在（(\mathbf{a})、(\mathbf{b})、(\mathbf{c})）变换后变成了（(\mathbf{a})、(\mathbf{b})、(\mathbf{c})），此时原本（(\mathbf{i})、(\mathbf{j})、(\mathbf{k})）组成的体积为1的正方体就被变换到以 (\mathbf{a})、(\mathbf{b})、(\mathbf{c}) 为三条临边组成的平行六面体。行列式描述了这一变换导致的体积缩放的程度。

叉积的几何解释

现在，将第一张图中的 (\mathbf{i})、(\mathbf{j})、(\mathbf{k}) 换成变量 (\mathbf{x})、(\mathbf{y})、(\mathbf{z})，有无数的 (\mathbf{x})、(\mathbf{y})、(\mathbf{z}) 使得这个行列式值相等（他们的终点都处在一个与 (\mathbf{v})、(\mathbf{w}) 平面平行的平面上）。由于 ([\mathbf{x}\ \mathbf{y}\ \mathbf{z}]) 到 z 轴的投影总是不变的，那么 ([\mathbf{x}\ \mathbf{y}\ \mathbf{z}]) 在某一个处于 z 轴的向量 (\mathbf{P}) 的线性变换下压缩到 z 轴，也就是 ([\mathbf{x}\ \mathbf{y}\ \mathbf{z}]) 和 (\mathbf{P}) 做点积，其结果也是不变的，除非这个 (\mathbf{P}) 变了。

此时就说明，如果这个 (\mathbf{P}) 找的好，是不是可以使得这个点积的值，永远都等于上图行列式的值。也就是贯穿视频的下面的等式：

[
vw组成的平行四边形面积乘以投影 = 投影乘以P向量的长度
]

而 (\mathbf{P}) 的方向一定是在 z 轴，否则投影到 z 轴就不是投影到 (\mathbf{P}) 了，两边的投影含义就不一样了。而含义一样时，等式两边消去投影，就是叉积 (\mathbf{P}) 的长度定义。