法国学者29页预印本论文「证明」黎曼猜想，这次的方向对了吗？
法国学者29页预印本论文「证明」黎曼猜想，这次的方向对了吗？
黎曼猜想是数学领域最著名的未解难题之一，自1859年提出以来，吸引了无数数学家前赴后继地尝试证明。近日，法国兰斯大学数学家Andre Unterberger在arXiv预印本平台发布了一篇题为《A pseudodifferential proof of the Riemann hypothesis》的论文，声称用拟微分算子方法证明了黎曼猜想。这一消息在数学界引发广泛关注和讨论。
2018年秋天，当菲尔兹奖、阿贝尔奖得主、89岁高龄的迈克尔·阿蒂亚（Michael Atiyah）爵士站在海德堡获奖者论坛的讲台，用45分钟、一页PPT展示了自己对黎曼猜想的证明时，众人沸腾。
这是阿蒂亚爵士的最后一次公开数学报告，报告结束后三个月，阿蒂亚爵士与世长辞。
拥有160多年历史的黎曼猜想，是数学王冠上的明珠，让无数人为之辗转。试图证明这一猜想的人很多，但被公认的方法至今还没出现。阿蒂亚爵士在演讲之后也公布了自己证明黎曼猜想的预印本，仍未被众人认可。
近日，一份关于黎曼猜想证明的预印本论文，在数学社区引发了热议。
10月31日，兰斯大学的Andre Unterberger在arXiv上传论文《A pseudodifferential proof of the Riemann hypothesis》。
论文地址：https://arxiv.org/pdf/2111.02792.pdf
作者1971年在巴黎狄德罗大学获得博士学位，研究方向为偏微分方程。他的导师是法国数学家、1950年菲尔兹奖得主Laurent Schwartz。
2002年，Andre Unterberger获得西班牙Ferran Sunyer i Balaguer奖。此前，他也曾发表过关于拉马努金猜想、庞加莱猜想等数学命题的证明，并出版了多本著作。
这篇论文的参考来源也是Andre Unterberger自己在2018年出版的一本关于数论的书籍《Pseudodifferential methods in number theory》。书籍介绍中就提到了“探索一种证明黎曼猜想的新方法”。
有趣的黎曼猜想
黎曼猜想是数学家黎曼在1859年向柏林科学院提交的一篇8页短论文中提出的，这篇论文讨论了素数分布的问题。黎曼发现，素数分布的规律就隐藏在某个函数的零点分布中。这个函数就是黎曼ζ函数：
黎曼将该函数解析延拓至整个复平面，并指出：黎曼ζ函数的非平凡零点（是指s不为-2、-4、-6……等点的值，这些都是平凡零点）的实数部分都是1/2。也就是说，这些非平凡零点都分布在复平面的Re(z)=1/2的直线上（即下图中的虚线）。
要证伪黎曼猜想，只需要找到一个不在Re(z)=1/2这条直线上的非平凡零点即可，只不过目前还没有发现这样的零点。
黎曼猜想及推广形式的成立是现有很多数学命题的前提。如果黎曼猜想及其推广形式被证明，这些数学命题都将变为数学定理；反之，一旦黎曼猜想被证伪，将有1000多个数学命题成为黎曼猜想的“陪葬品”。
这项研究证明了黎曼猜想的什么？
在这篇论文中，Andre Unterberger对黎曼猜想涉及到的厄米特形式（hermitian form）的分析和算术部分进行了详尽的比较，从而证明了该猜想。
该研究对黎曼猜想的证明基于对如下分布的探究：
其中，
，
r=1,2,...。
被称作Eisenstein分布，在某些情况下，
与分布
相关联的线性算子
将S(R)转变为S’(R)
该研究利用欧拉算子
更具体地说是重新扩展了运算符的集合
，即
Unterberger在2018年的一项研究[1]中，当β>2且ε>0时，对于在[0,β]中的每个
R.H.已经被证明等价于：
给定一个正整数N，
如果Q无平方，且函数
在[0,β]中被支持，则N=RQ是一个可被所有小于βQ的素数整除的无平方整数，可得到以下方程：
现在，右侧的厄米特形式适用于代数算术版本。实际上，将half-line支持的
中的函数传递到以下方程定义的线性情况下
上的函数：
与[1]中已获得的证明结果相比，新研究在于充分利用了这种代数结构和测试函数w的支持假设。作者通过进一步的条件
来利用一切可能性约束R，然后主厄米特形式(1.7)本质上等于Q^2乘以“简化”形式
。如果假设w在[0,β]中得到支持，对于某些β，则可以使用主厄米特的简单无条件估计形式，也就能够对简化形式实现非常好的估计。为了从中推导出黎曼猜想，剩下要做的是为简化形式提供一个类似于（1.5）的标准。
是民科？还是正经研究？有待同行评议
对于André Unterberger这篇证明黎曼猜想的论文，有知乎用户吐槽称，“有点像mathgen（一种数学论文生成器）自动生成的。”
不过，更多的网友还是给予了肯定与期待。有位匿名用户认为，“作者毕竟是法国数学家&1950年菲尔兹奖得主Laurent Schwartz的博士生，法国数学家&1966年菲尔兹奖得主Alexander Grothendieck的同门师弟，年逾80，总归非民科能碰瓷的吧。”
这位匿名用户的观点也得到了其他人的附议。“至少看上去有可能是对的，比某精细结构常数要靠谱得多。仍有很大可能存在缺陷，还是期待同行评议的结果。”有用户这样表示。
总之，对于这篇“不明觉厉”的文章，挂在了arXiv数论板块（Number Theory）也在一定程度上说明了作者并非胡说臆测。如果有读者大神研究这一证明，欢迎留言告诉我们结果。
参考链接：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/45249464
https://www.jiqizhixin.com/articles/2019-01-12
https://www.genealogy.math.ndsu.nodak.edu/id.php?id=75970
本文原文来自机器之心