扭矩法的力矩计算公式推导
扭矩法的力矩计算公式推导
扭矩法是螺栓连接中常用的预紧力控制方法，通过控制拧紧过程中的扭矩来确保连接的可靠性和安全性。本文将从摩擦学基础出发，详细推导扭矩法的力矩计算公式，帮助读者理解这一重要工程计算方法的理论依据和具体应用。
摩擦学是螺栓连接的理论基础
螺栓连接的理论依据是古典摩擦定律（classical friction law）-阿蒙顿-库伦定律，综述如下：
- 摩擦力与法向载荷成正比：f = μFN
- 摩擦因数与接触面积无关
- 摩擦因数与滑动速度无关
- 静摩擦因数大于动摩擦因数
根据定律定义两个概念：
1、全反力：
接触面给物体的摩擦力 f 与支持力的合力称全反力R，亦称接触反力FR 。
2、摩擦角：
全反力FR 与支持力FN的夹角称摩擦角，一般用 ρ 表示。
μ为摩擦因数。
螺栓连接结构尺寸
(1) 大径d(D)
它是与外螺纹牙顶或内螺纹牙底相重合的假想圆柱的直径，一般定为螺纹的公称直径。
它是与外螺纹牙底或内螺纹牙顶相重合的假想圆柱的直径。是螺纹危险剖面的计算直径。
螺纹的牙厚与牙间相等处的假想圆柱直径。
(4) 螺距P
相邻两牙在中径上对应两点间的轴向距离。
(5) 螺纹线数n
沿一条螺旋线形成的螺纹称为单线螺纹， n＝1。沿两条或两条以上，在周向等角度分布， 在轴向等间距分布的螺旋线形成的螺纹称为多线螺纹。
(6) 导程s：
同一条螺旋线上的相邻两牙在中径上对应两点间的轴向距离。 —般取为外旋线数为n，则s＝nP。
(7) 螺旋升角φ：
在中径圆柱上螺旋线的切线与垂直于螺纹轴线的平面间的夹角，其展开形状右图所示。计算式为：
(8) 牙型角α
轴向剖面内，螺纹牙型两侧边的夹角。
(9) 牙型斜角β
轴向剖面内，螺纹牙型的侧边与螺纹轴线的垂线间的夹角，β=α/2。
螺栓副受力分析
3.1 矩形螺纹（牙型角α=0）
螺纹副中，螺母所受到的轴向载荷Q是沿螺纹各圈分布的，为便于分析，用集中载荷Q代替，并设Q作用于中径d2圆周的一点上。这样，当螺母相对于螺杆等速旋转时，可看作为一滑块(螺母)沿着以螺纹中径d2展开，斜度为螺纹升角Ψ的斜面上等速滑动。
匀速拧紧螺母时，相当于以水平力推力F推动滑块沿斜面等速向上滑动。设法向反力为N，则摩擦力为μ*N，μ为摩擦系数，ρ 为摩擦角，ρ = arctan μ。由于滑块沿斜面上升时，摩擦力向下，故总反力R与Q的的夹角为Ψ+ρ 。由力的平衡条件可知，R、F和Q三力组成力封闭三角形，由下图可得：
使滑块等速运动所需要的水平力 ：
A、等速上升：
F=Qtan(Ψ+ρ) ；等速上升所需力矩：
B、等速下降：
F=Qtan(Ψ-ρ)；等速下降所需力矩：
3.2 非矩形螺纹
螺纹的牙型角α≠0时的螺纹为非矩形螺纹。非矩形螺纹的螺杆和螺母相对转动时，可看成楔形滑块沿楔形斜面移动；
平面时法向反力N=Q；平面时摩擦力F =μN =μQ；
楔形面时法向反力N' = Q/cosβ；楔形面摩擦力F' =μN'=μQ/cosβ；令 μ' = μ/cosβ称当量摩擦系数F' = μ'Q；
楔形面和矩形螺纹的摩擦力相比，与当量摩擦系数对应的摩擦角称为当量摩擦角，用ρV表示。
拧紧螺母时所需的水平推力及转矩：由于矩形螺纹与非矩形螺纹的运动关系相同，将ρV代替ρ后可得：
使滑块等速运动所需要的水平力：
等速上升：
等速上升所需力矩：
等速下降：
等速下降所需力矩：
从上述的推论中可以看出，力矩的获得是建立在滑块等速运动的基础上 ，实际应用中，拧紧工具的转速变化会影响扭矩值的确定。
螺栓头部摩擦力矩
螺栓或螺母头部的摩擦接触面为圆环面，滑动摩擦所产生的摩擦力矩可使用积分方法确定。
如下图所示，
外圆半径为R0，内圆半径Rh 。圆环面积为
r 处微圆环面积为
设接触面间正压力为N 且均匀分布，则压强为：
微圆环所受压力为
微圆环上沿切线方向的摩擦力为：
微圆环摩擦力对圆心所产生的摩擦力矩为：
将dM在区间[ Rh，R0 ]上积分，得转台的摩擦力矩M为：
将外圆半径为R0，内圆半径Rh 换算成外圆直径为D0，内圆直径dh ，可得到用直径表达的T：
这里的N就是上文“螺纹副受力分析”中的Q，下文中的FM。
扭矩法力矩计算公式
扭矩的产生主要是由于拧紧过程中，螺栓或螺母的头部与被连接件或自身的垫片产生摩擦力矩T1，同时内、外螺纹间也产生摩擦力矩T2。
总扭矩：
且tanΨ*tanρV很小，可忽略，所以，
而
所以推导出：
当牙型半角β=30°，
设支撑面等效摩擦直径
则
实践中令, 在螺栓技术准则VDI2230中
用近似值代替积分值，利用excel计算比较，两者差异很小。
最后计算公式如下：
T — 拧紧力矩；
FM — 预紧力；
P — 螺距；
d2 — 螺纹中径；
dh — 被联接件螺栓孔直径；
dw — 螺母或者螺栓法兰的支承直径；
μ = 摩擦系数。