等差等比数列求和公式整理
等差等比数列求和公式整理
数列求和是高中数学中的一个重要知识点，涉及到等差数列和等比数列的求和公式及其应用。本文将详细介绍等差数列和等比数列的求和公式，并列举常见的数列求和方法。
等差等比数列求和公式整理
一、等差等比数列求和公式
等差数列求和公式为：$S_n = na_1 + \frac{n(n-1)d}{2}$；
等比数列求和公式为：$S_n = a_1\frac{1-q^n}{1-q} \quad (q \neq 1)$。
二、等比数列求和公式
等比数列求和公式是求等比数列之和的公式。
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公式可以快速的计算出该数列的和。
通项公式：$a_n = a_1 \times q^{n-1}$
求和公式：$S_n = a_1\frac{1-q^n}{1-q} \quad (q \neq 1)$
求和公式推导
(1) $S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n$ (公比为q)
(2) $qS_n = a_1q + a_2q + a_3q + \ldots + a_nq = a_2 + a_3 + a_4 + \ldots + a_n + a_{n+1}$
(3) $S_n - qS_n = (1-q)S_n = a_1 - a_{n+1}$
(4) $a_{n+1} = a_1q^n$
(5) $S_n = a_1\frac{1-q^n}{1-q} \quad (q \neq 1)$
三、等差数列求和公式
等差数列是常见数列的一种，可以用AP表示，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。例如：1, 3, 5, 7, 9, ……(2n-1)。等差数列{an}的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1)d$。前n项和公式为：$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$或$S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]$。注意：以上整数。
$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$
$S_n = na_1 + \frac{n(n-1)d}{2} = \frac{dn^2}{2} + (a_1 - \frac{d}{2})n$
末项 = 首项 + (项数-1)×公差
项数 = (末项-首项)÷公差+1
首项 = 末项-(项数-1)×公差
和 = (首项+末项)×项数÷2
末项：最后一位数
首项：第一位数
项数：一共有几位数
和：求一共数的总和
常见求和公式整理
等差数列求和公式
等差数列求和公式为：
$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$
或者
$$S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]$$
其中，$a_1$ 是首项，$a_n$ 是第n项，$d$ 是公差，$n$ 是项数。
Excel中的常见求和公式
- 普通求和：选中求和区域的行和列，使用快捷键Alt+=即可获得求和结果。
- 区域求和：使用SUM函数，例如=SUM(B2:D2)。
- 指定区域求和：使用SUM函数，例如=SUM(B3:B4, B7:B8)。
- 多区域求和：使用SUM函数，例如=SUMIF(B2:D2,"业绩")。
- 合并单元格求和：使用SUM函数，例如=SUM(C2:C11)-SUM(D3:D11)。
- 隔列求和：使用SUMIF函数，例如=SUMIF($B$2:$E$2,F$2,$B3:$E3)。
- 乘积求和：使用SUMPRODUCT函数，例如=SUMPRODUCT(B2:B11, C2:C11)。
其他常见求和公式
- 错位相减法：适用于等差数列与等比数列的乘积。
- 阿贝尔求和公式：适用于特定类型的数列求和。
- 倒序相加法：适用于某些特定的数列求和问题。
- 分组法：将数列分组后进行求和。
- 裂项相消法：通过裂项后相消进行求和。
- 数学归纳法：通过归纳法推导数列的求和公式。
- 通项化归法：将通项公式化归为易于求和的形式。
- 并项求和法：将数列并项后进行求和。